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domingo, 6 de março de 2011

MMC EXISTE, MAS, PARA QUE SERVE?

Muita gente pensa por aí, que o mínimo múltiplo comum (mmc) foi inventado somente para ser usado para se encontrar as soluções das operações de soma e/ou subtração de frações, para os casos em que seus denominadores não são iguais. Mas, pelo menos eu, há muito tempo que descobri que essa é uma das suas aplicações. Claro, há vantagem em se usar o mmc dos denominadores das frações dadas, mas, isso não é imprescindível e para provar, vou usar através de um exemplo o que (aliás, irá ajudar na resolução do desafio... “contando ovelhas”), também, faz parte das minhas descobertas matemáticas antigas e que foi intitulada de... “MMC não comum” e mais tarde passou a ser chamada de... “o máximo MMC relativo”



. Aquilo que no princípio me parecia, difícil e/ou misterioso quando se operava a soma ou a subtração de frações ordinárias que não possuíam os mesmos denominadores, ficou completamente desmitificado e portanto, dominado... quando compreendi que: como existiam as frações equivalentes ( números racionais de mesma grandeza, embora tenham os termos de mesmo nome com valores diferentes) e assim, essa história de transformá-las todas para o um mesmo denominador, esse denominador poderia ser qualquer um número não nulo e múltiplo de todos os denominadores das frações na operação.
Vamos dar um exemplo: seja resolver...

3      +      12      -     5      -      18        +      9
__           ___          ___           ___            ____ =
 5              7            3               19               8           vemos que as frações teen os seus

denominadores diferentes e nesse caso, para operarmos, claro... temos que achar o mmc deles, não é mesmo? Mas, a minha resposta é: “ não”! Há vantagem em se utilizar o mmc e devemos fazê-lo, mas já na época, eu descobri que: qualquer número múltiplo daqueles denominadores ali... serve! Por exemplo: tomemos o número... 31920 e operemos as frações, assim...

3       +      12       -       5       -        18      +       9
__            ___             ___             ___             ___ =     ____________________________ =
5                7                3                19               8                               31920

3 X 6384  +  12 X 4560   -   5 X 10640    -  18 X 1680    +    9 X 3990
________________________________________________________  =
                                                 31920

19152 + 54720 - 53200 - 30240 + 35910                             109782 - 83440
______________________________________ =      ____________________=
                               31920                                                          31920

26342              13171
_______=      _______ .
31920             15960       Vamos repetir o Cálculo, agora usando o mmc(5, 7, 3, 19, 8) = 15960 (através do “quarto método para o mmc ou método do prof. Valdir”) e fazemos...


3      +      12     -      5    -        18       +      9
__          ___          __             ___            ___ =       ____________________________ =
5               7             3              19              8                                    15960

3 X 3192   +   12 X 2280   -   5 X 5320    -   18 X 840   +   9 X 1995
________________________________________________________ =
                                             15960

9576   +   27360   -   26600   -   15120   +   17955
______________________________________ =
                                  15960

54891   -   41720
______________ =
     15960

13171
__________
15960


que é o mesmo resultado anterior C. Q. D.

           

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14 comentários:

João disse...

Professor, eu não sou estudante de matemática, nem sou aluno de colégio... e me surgiu uma dúvida que talvez o senhor saiba me explicar.

Por que uma equação de 1º com denominadores diferentes precisa de mmc para ser feita?
Se eu seguir a regra da igualdade não deveria obter um resultado correto???
Posso provar meu ponto:

Olha só...

Com mmc:

x/4 + (24-x)/2 = x
mmc=4
x + 2(24 - x) = 4x
x + 48 - 2x = 4x
x - 4x - 2x = -48
-5x = -48
x = 48/5 = 9,6

Sem mmc:

x/4 + (24 - x)/2 = x
(24 - x)/2 = x - x/4
(24 - x) = 2x - 2x/4
24 = 2x - 2x/4 + x
24 = 3x - 2x/4
24 = 3x - x/2
24 = 3x - 0,5x
24 = 2,5x
x = 24/2,5
x = 9,6 = 48/5

Tudo que eu precisei foi seguir a regra de igualdade e transformar x/2 em 0,5x, para fazer a subtração "3x - x/2" sem usar mmc, então "3x - 0,5x = 2,5x". Consequentemente 24 = 2,5x = 24/2,5 = 9,6 = 48/5.

Ou também pode transformar as frações em número com vírgula desde o começo:

(24 - x)/2 = x - x/4
12 - 0,5x = x - 0,25x
12 - 0,5x = 0,75x
12 = 0,75x + 0,5x
12 = 1,25x
X = 12/1,25
X = 9,6 = 48/5

Parece simples, mas minha noiva cursa matemática e praticamente brigamos enquanto eu tentava provar que era possível sim fazer a conta usando apenas regra de igualdade sem o mmc.

Por falta de conhecimento matemático eu demorei 1h tentando fazer essa continha sem o mmc, pois sou muito teimoso e algo me dizia que se a lógica da regra de igualdade está correta, ela deve funcionar sempre que aplicada da maneira certa. Tudo que eu precisava era transformar a fração em número quebrado(com vírgula) para tornar o mmc desnecessário. No final eu apenas descobri um modo mais difícil de resolver a equação hehehe.

Se eu estiver errado, por favor me corrija pelo email jpauloquadros@hotmail.com

12 de novembro de 2012 02:16
Francisco Valdir disse...

Olá,. João!!!!

Para responder a sua pergunta: "Por que uma equação de 1º com denominadores diferentes precisa de mmc para ser feita?" eu posso dizer que... em 1º) lugar: a palavra equação quer dizer... igualdade, daí porque entre o 1º e o 2º membro da expressão sempre termos que usarmos o sinal de igual (=). certo???? Em 2º) lugar: Numa expressão assim, caso no início, os denominadores sejam iguais, devemos suprimi-los e efetuarmos as operações apenas com os numeradores, senão, como no exemplo que você deu... x/4 + (24-x)/2 = x devemos (é o mais lógico) usar denominador dar 1 para todos os termos que não sejam fracionários, acharmos o denominador comum para eles (m. m. c.), dividirmos o m.m.c. encontrado por cada um daqueles denominadores iniciais e tomarmos o quociente encontrado e multiplicarmos os numeradores do termo da vez, para agora, tendo todos os termos apresentando o mesmo denominador (o m.m.c.), cotarmos esse denominador comum, e efetuarmos os cálculos ali, colocando os termos literais em um lado ( membro da equação) e os termos numéricos no outro membro e agora... em 3º lugar: Eu digo que: João, uma equação é o modelo matemático de uma balança mecânica de dois pratos e... como sabemos e entendemos que, para que se possa obtermos ou restabelecermos o equilíbrio de uma balança, devemos atuar do mesmo modo nesses dois pratos da mesma, ou seja: se de um dos pratos pusermos ou retirarmos uma certa massa, devemos fazer igual no outro prato!!!! É isso que se faz na balança matemática, a equação, quando através dos princípios: aditivos e multiplicativos ( automaticamente usamos operações inversas para os membros), vamos reduzindo os os valores iniciais em ambos termos da expressão, até obtermos em um dos membros dela, um valor desconhecido (variável) igual a um valor conhecido!!!! Então, quero concluir dizendo que: o que você fez aqui... Sem mmc:

x/4 + (24 - x)/2 = x
(24 - x)/2 = x - x/4
(24 - x) = 2x - 2x/4
24 = 2x - 2x/4 + x
24 = 3x - 2x/4
24 = 3x - x/2
24 = 3x - 0,5x
24 = 2,5x
x = 24/2,5
x = 9,6 = 48/5
foi correto para trazer um valor ( x/4) que era uma parcela (+) do lado esquerdo tornou-se um subtraendo no lado direito (-x/4). Em seguida, tomou aquele divisor 2 em... (24-x)/2 e o mesmo realizou um produto ( operações inversas) para quem estava do outro lado, ou seja: x- x/4, obtendo... 2x - 2x/4, percebeu???? Depois, para ficar com todos os termos literais para o lado direito da expressão, você transportou e trocou o sinal da variável x no lado esquerdo em... 24 -x, para +x no lado direito e... para não usar m.m.c. = 4, usou transformar 1/2 em 0,5 para fazer... 3 - 0,5 = 2,5 (multiplicador) estabelecendo a igualdade... 24 = 2,5 x e finalmente, obter... 24/2,5 = x, ou seja: x = 9,6!!!! Portanto; você não fez nada de errado na resolução do problema, apenas, você chegou a Roma por um caminho não usual!!!!

Obrigado, fiquei muito honrado, pela iniciativa do comentário, pela visita e espero contar contigo para futuros contatos como esse!!!!

Um abraço!!!!!

12 de novembro de 2012 07:18
Ana Carolina disse...

é muito facil









16 de outubro de 2013 11:42
Francisco Valdir disse...

Olá, Ana!!!!
Muito obrigado, por ter visitado o meu blog, feito o comentário também!!!!
Fiz o seu add ao G+ e... seja bem-vinda ao meu círculo e amizades!!!! volte sempre!!!!
Um abraço!!!!

16 de outubro de 2013 19:40
Marcus Vinicius de Almeida Bittencourt disse...

Como o nome diz MMC, mínimo múltiplo comum. Seu eu posso trabalhar com contas pequenas usando o MMC, porque eu iria utilizar um múltiplo maior? no caso o produto dos denominadores? Além de perder tempo em uma prova com cálculos há um risco maior de errar pois os cálculos são realizados em contas maiores.

10 de abril de 2014 05:34
Francisco Valdir disse...

Olá, Marcus Vinícius!!!!
Muito obrigado, pela visitação ao meu blog e também, pela postagem do comentário!!!!
Claro, que devemos utilizarmos o menor múltiplo para realizarmos os cálculos!!!! A minha intenção em usar o número 31920 em lugar do 15960, foi apenas para provar que qualquer número múltiplo daqueles denominadores ali (5,7,3,19 e 8), podendo ser até maior do que o 31920 usado como denominador comum para as frações dadas, funciona tal qual a utilização do MMC (5,7,3,19,8) = 15960!!!!
Fiz isso, apenas para mostrar que... não somos necessariamente obrigados em utilizar somente o MMC dos denominadores das frações dadas, para chegarmos ao resultado das operações de soma e/ou subtração entre as frações!!!! Mas, pela "lei do menor esforço" (o que eu sempre recomendo que se faça na prática), é claro que devemos fazermos uso de um menor valor para realizarmos as contas!!!!
Mas, agora, eu lhe pergunto: devemos sempre fazermos uso do processo da fatoração isolada ou da fatoração simultânea para encontrarmos o MMC dos denominadores???? É claro que não!!!! Eu inventei um método para facilitar isso e... fiz uma postagem aqui no blog, com o título... "O Quarto Método Para Encontrar o MMC!!!!!" que é a quinta postagem mais acessada aqui no meu projeto!!!!
Tudo de bom e... espero que sempre visite esse meu espaço matemático!!!!
INTEL LOGO!!!!
Um abraço!!!!!

10 de abril de 2014 18:23
Emanuella Filgueira disse...

Porque, que quando decompomos dois ou mais números simultaneamente em fatores primos a multiplicação final é o mmc?

25 de maio de 2014 12:29
Emanuella Filgueira disse...

Por que devemos utilizar o mmc para resolver uma soma ou subtração de frações com denominadores diferentes?

25 de maio de 2014 12:31
Francisco Valdir disse...

Olá, bom dia Emanuella Filgueira!!!!
Obrigado, por visitar e também estar participando nessa postagem fazendo as perguntas sobre o MMC!!!!
Verei se posso lhe dar respostas satisfatórias, assim espero!!!!

1ª) pergunta: Porque, que quando decompomos dois ou mais números simultaneamente em fatores primos a multiplicação final é o mmc?
Minha resposta é: "porque ali´, à direita daquele traço vertical (que separa os números separados por vírgulas) de forma automática (por isso é que esse método é chamado de... "método prático") fazemos o produto de todos os fatores primos que aparecem em pelo menos um desses números (fator primo) e caso ele (fator primo em questão) seja comum (aparece na listagem de mais desses números dados) até para todos os números, mas atenção, esse produto será obtido pelos fatores comuns e não comuns em seus maiores expoentes
Por favor, veja essa minha postagem aqui, em...

http://matemagicasenumeros.blogspot.com.br/2011/02/o-quarto-metodo-para-encontrar-o-mmc.html#.U4NQ8YFdWAM

Ali quando eu demonstro os... 2º e 3º métodos, podemos ver que o método prático (fatoração simultânea) seria, eu diria, o conjunto união dos fatores primos dos números dados ( basta aparecer como fator em um mais desses números e já vai fazer parte do conj. união) com uma diferença, qual seja: cada fator será tomado em seu maior expoente!!!! Acredito que vendo por ali, as imagens nessa postagem, as dúvidas desaparecerão!!!!

2ª) Pergunta: Por que devemos utilizar o mmc para resolver uma soma ou subtração de frações com denominadores diferentes?

A minha resposta: por que temos nesses caso fazer uso de um mesmo denominador para todas as frações dadas e aí... veja só, o menor número que serve para realizarmos isso é um número múltiplo comum ( faz parte ou aparece em todas as "tabuadas" desses números) será esse tal de MMC, caso contrário um outro número Maior do que esse), por exemplo: o produto de todos os denominadores das frações usadas aí, servirá do mesmo jeito, porém, por ter um valor maior do que o MMC, tornarão as "contas mais difíceis", rsrsrs, uma vez que obteremos frações equivalentes às frações dadas anteriormente e o resultado também será um resultado igual em valor, quando comparado pelo que fora obtido usando-se o MMC!!!!

Veja, minha cara... Emanuella, ali em cima na postagem, antes de explicar a minha invenção sobre o 4º método para o MMC, eu realizo, justamente, o cálculo da soma e/ou subtração de frações que teen denominadores diferentes e utilizando-se um denominador comum para elas sem ser o MMC!!!!

Bom, espero que vc tenha entendido tudo!!!!
Agradeço e lhe convido avir mais vezes aqui no meu blog, também comentando, fazendo as suas perguntas como agora e... esteja à vontade, volte sempre!!!!
Um abraço!!!!! .

26 de maio de 2014 08:12
Emanuella Filgueira disse...

Obrigada, você tirou minhas dúvidas.

26 de maio de 2014 17:43
Francisco Valdir disse...

Boa noite, Emanuella!!!! Desejo uma ótima semana para vc e a sua família!!!!
N]ao seja por nada, eu sou quem agradeço e... que ótima notícia e... me coloca à sua disposição para atende-la em outras ocasiões, isto é: caso eu saiba responder e/ou retirar as suas dúvidas!!!! Será sempre um prazer!!!!
Um abraço!!!!!

26 de maio de 2014 18:02
Emanuella Filgueira disse...

Bom dia Francisco.
Em uma das suas publicações, você traz "brincadeirinhas", como esta,
Matemágica # 003 ==>Qual o algarismo riscado?

Peça à pessoa que escreva um número qualquer e que escreva outro número composto dos mesmos algarismos, colocados, é bem de ver, em outra disposição e em seguida subtraia o menor desses números do maior. Por exemplo: 5621185 e com esses mesmos algarismos colocados em outras posições, podemos formar... 8261551 entre outros. Agora fazemos a subtração: 8261551 – 5621185 = 2640366.
peça então, que a pessoa risque um dos algarismos, à vontade, do número obtido depois de feita a subtração... só não poderá riscar o 0 (zero) ou o 9. Então no meu caso, do número 2640366 eu riscaria... um 6 (o primeiro da esquerda para a direita, por exemplo) e o meu número ficaria agora assim... 240366.
Mande, então, que a pessoa, faça a soma dos valores absolutos dos algarismos que ficaram e lhe diga qual foi o total encontrado. Eu faria: 2 + 4 + 0 + 3 + 6 + 6 = 21.
O algarismo que foi riscado, você descobrirá assim: ele será igual ao número necessário para, somado ao número que a pessoa disser, formar o mais próximo múltiplo de 9. Voltando ao meu exemplo, como a soma deu 21, então o mate mágico descobriria que eu riscara o algarismo 6, pois este se for somado ao 21 dará 27, o próximo múltiplo de 9.

No seu resultado foi 21, você poderia ter somado novamente 2+1=3, para 9, faltam 6. Então o número riscado é 6. Isto tem um relação, com a questão dos "noves fora".
Você sabe me explicar porque?

8 de junho de 2014 05:48
Francisco Valdir disse...

Boa noite, minha cara seguidora e comentarista ativa do meu blog!!!! Muita saúde e paz para vc e a sua família!!!!
Como vc falou em "noves fora" eu lhe faço uma pergunta (mas, em seguida darei a resposta):quando obtemos achamos os "noves fora" (n.f.)de um número, o que ele significa, realmente, para esse número???? Por exemplo... o número ali... 240366, fazemos... 2 + 4 = 6 (n.f.==>6)... 6 + 0 = 6 (n.f.==>6).. 6 + 3 = 9 (n. f. ==> 0)... 0 + 6 = 6 (n. f.==>6)... 6 + 6 = 12 e ... 1 + 2 = 3... como chegamos ao dos dígitos do número, então, com esse resultado podemos afirmar que.... 240366 ( n. f. ==> 3) !!!! Assim... os "noves fora" do de 240366 é igual a 3!!!!! Tá!!!! Mas, o que é que isso tem de especial???? Resposta: isso quer dizer, que o resto da divisão do número 240366 pelo número nove é igual a...3 (tente fazer isso para outros números também)!!!!!
Agora, depois de ter falado tudo isso, vou dizer o porquê acontece essa "coisa"!!!! O nosso sistema de contagem, Emanuella, tem base 10 (sistema decimal) e em nenhuma ordem nas classes de um número poderá constar o 10 ( dez unidades simples no local da ordem das unidades da classe simples, não pode, como também... 10 dezenas simples na ordem das dezena da mesma classe e 10 centenas simples na ordem das centenas ali naquela classe) unidades, sendo o máximo... 9, certo???? Sendo assim, como não deve haver em nenhuma ordem de qualquer classe de um número superior ao número 9, então, nesses locais se constarem números diferentes de 0 (zero) e 9, ambos múltiplos de 9 e depois de feita aquelas operações ali, a soma dos dígitos da subtração devem dar um número múltiplo de nove e se não dá,, é porque esse valor que está faltando foi aquele que foi riscado!!!!!
Espero ter respondido como vc gostaria!!!! Não sei se atingi esse objetivo e ficarei aguardando um seu pronunciamento a respeito!!!!
Muito grato e... disponha, estare sempre oa seu dispor!!!!
Um abraço!!!!! ...

8 de junho de 2014 20:38
Emanuella Filgueira disse...

Ok Francisco,obrigada!!!
Boa noite!!!

10 de junho de 2014 16:10

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