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quinta-feira, 30 de junho de 2011

Dividir... pra três cabeças! Parte (IV):

Parte (IV):

Na postagem anterior, (Parte III) , ficamos em...

     805702 por 93472 e nesse caso teria-mos:
     93472
  X9
  ____
   81 mas, na sua continuação, temos que:

























  805702
-81
____
?????? ====> Subtração de 80 - 81 nos naturais? Não pode!!!!!! Então, vamos testar... 8, como multiplicador...

quarta-feira, 22 de junho de 2011

AVISO QUE... AGORA É A MÃE!!!!!

Oi, pesoal!!!!!
É, fazer o que???!!! Novamente estou sem poder trabalhar como gostaria, pois, agora o problema foi mais sério do que da vez passada! Agora... foi a queima da placa mãe! Vou fazer uso das lans houses e por isso as minhas postagens serão mais demoradas.
Espero que tenham um pouco de paciência e que, como da última vez, possa contar com o apoio de todos.
Muito obrigado, até breve!
Atenciosamente...
Francisco Valdir de Lima. 

quarta-feira, 15 de junho de 2011

DIVISÃO... PRA TRÊS CABEÇAS!!!!! (parte III)

Parte (III):

-O que vocês acham da abordagem do assunto... divisão, realizado dessa maneira?

-Aluno A: Professor, eu confesso... que não tinha uma visão dos objetivos dessa operação, mas agora, 
posso dizer dizer que entendo a mecânica da coisa!

-Aluno B: E eu posso acrescentar que as coisas ditas assim... facilitam a compreensão do processo, 
embora que... ainda eu tenho medo de encarar aquelas divisões com divisores maiores que dois dígitos!

-Aluno C: Eu também morro de medo de fazer divisões assim! É professor, está só faltando uma demonstração de como realizar aquelas divisões com números enormes... divisões gigantes!





























-Então, chegou a hora, meus amigos! 
Vamos supor que o tanque tivesse uma capacidade de... 12000 litros d'água e que precisamos saber... qual é a capacidade ou quantidade de litros para cada um dos 117 peixes, ou seja: o dividendo 12000 dividido pelo divisor 117 através do algoritmo da divisão criada pelo grego Euclides e que vocês já conhecem. 
Quero avisar que no processo da divisão  pelo algoritmo de Euclides,



 
cada parte da subdivisão dos dígitos do dividendo (formação de um número) exige que o número que será colocado no quociente (fator) tenha valor de 0, 1, 2, … , 8 ou 9, por vez, tal que o produto dele pelo divisor seja igual ou o mais próximo possível daquele número que se tem formado com os dígitos do dividendo
Por isso, quero que vocês em primeiro lugar, achem os produtos do divisor 117 pelos números desde o zero, até o número nove.

É com a gente mesmo...

117 X 0 = 0
117 X 1 = 117
117 X 2 = 234
117 X 3 = 351
117 X 4 = 468
117 X 5 = 585
117 X 6 = 702
117 X 7 = 819
117 X 8 = 936
117 X 9 = 1053

É assim, professor?

-Perfeitamente! E agora, em primeiro lugar vamos...armar a conta”, que fica assim... 






 e... em segundo lugar, como o divisor possui três dígitos, então... tomaremos inicialmente,
 da esquerda para a direita, os três dígitos iniciais no dividendo e comparamos se o número formado é  maior 
 ou igual ao divisor 117, i. É: 120 > 117?

- Alunos: Evidente!

-Sendo assim, vamos encontrar o 1º dígito do quociente e para isso, basta olharmos para aquela tabela 
de produtos ali em cima, para procurar qual deles é igual ou mais próximo do 120.

-Alunos: vejamos... o 117 X 2 = 234... passa de 120, portanto, deve ser o 1 X 117 = 117 que é o  valor mais próximo de 120. Não é isso mesmo, professor?

-Exato! E assim temos:



 ==========> resto parcial < 117 

 Achamos a diferença entre... 120-117 = 3, mas...
 ATENÇÃO!!!!! Nenhum resto deverá ser igual ou maior (quando ocorre isso, devemos aumentar o  valor do número no quociente) ao divisor! 
O máximo que ele pode assumir é ser menor do que o divisor por uma unidade, quando aí... passa a ser chamado de... “resto maior possível”
Por exemplo: aqui, na nossa divisão, qualquer resto só poderá ter no máximo... 116 unidades, pois temos no divisor  o 117. 
Continuando... ao resto 3 que obtivemos, juntamos a ele um zero, que é o quarto dígito no 
dividendo e formamos o número 30. 
Observamos que o 30 é menor que 117, então... antes de baixarmos o dígito seguinte no dividendo, o próximo, colocamos um zero no quociente, que agora fica valendo...10 e assim...  

                                                        
 


e agora, formamos o número 300 quando... ao 30  juntamos o quinto dígito no dividendo, que é um zero... e agora... 300 dividido por 117? 
Novamente, se olharmos lá na tabela dos produtos  pré-calculados, vemos que é o 2 que deverá ser utilizado dessa vez.





  


066 =======> resto final.
































Não temos mais dígitos para baixarmos no dividendo. Sendo assim... em números inteiros, podemos afirmar que: cada peixe tem 102 litros d'água à sua disposição. 
Claro que, podemos continuar com essa divisão, pois o resto ainda não ficou nulo, não zerou. E se continuamos com essa divisão, na busca de frações de litro (casas decimais), mas... até o momento, como o resto não é nulo, então temos aqui, o caso de uma... “divisão aproximada”
Viram, que: se tomarmos os produtos do divisor de uma divisão... desde o zero até o nove, podemos ir de dígito após dígito, até encontrarmos o quociente?

-Alunos: Era isso que queríamos aprender, professor! 
Só que tem ainda um problema! Seremos sempre obrigados a preparar essa tabela dos produtos com o divisor no início de cada uma divisão?

- Absolutamente! Isso aqui, foi só para tornar mais compreensível o procedimento! 
Mas, uma vez que você tenha o domínio das tabuadas da multiplicação, não haverá necessidade disso e sim... de um artifício... ???????

-Lá vem, complicação! O tal do artifício! Estava demorando!!!!!

-Mas, é um artifício leve, facílimo de se aprender e usar! É muito fácil! 
Vejamos: vamos dividir...  80570251 por 93472?

Primeiro, armamos a conta:



 

e no dividendo, da esquerda para a direita, tomamos o número 80570 formado pelo igual número de dígitos do divisor (5). 
Comparando-se os valores desse número... o 80570, vemos que ele é menor do que o divisor 93472, sendo assim, a ele, juntamos o próximo dígito do dividendo, o algarismo 2 e formamos o número... 805702. 
Repare que: qualquer número (desde o zero até o nove)  que usarmos no quociente, ao multiplicarmos o 9... dígito inicial no divisor, lançará o produto ( muitas vezes, acrescido de algumas unidades vindas do produto anterior) sob os dois dígitos iniciais (80) do número 805702 lá no dividendo. 
Portanto, o artifício consta em se verificar se esse valor não ultrapassa  ao 80 colocado no dividendo, por exemplo: vamos dizer que você achou que poderia usar um 9 como  fator multiplicador do divisor para a divisão de... 805702 por 93472 e,  nesse caso teríamos:

    93472
 X9
 ____
  81       mas, aí temos que:


    805702
  - 81
  ____
   ?????? ====>Subtração de... 80 - 81 no conjunto dos naturais? Não pode!!!!!! 
 Então, vamos testar... com o multiplicador 8...

    93472
                                                                         
 X8
___
  72 ====> bom, pelo menos podemos ver que...

   805702
- 72
____
  08 !!!!! É possível! Então, vamos testar... (continua na parte IV)

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sexta-feira, 10 de junho de 2011

DIVISÃO... PRA TRÊS CABEÇAS!!!!! (parte II)

Dividir... pra três cabeças!
Parte (II):

-Professor: Vocês percebem que dessa maneira é... possível dividir?
-Alunos A, B e C: Sim! Percebemos!
-Agora, para que não permaneçam dúvidas... vamos considerar que o tanque tivesse uma capacidade de 196 litros (é o dividendo). 
Já a capacidade da lata que era de... 6 litros ( é o divisor) e na
primeira operação de subtração obtemos:





196 litros
  -6 ' '
________
190 ' ' e o número de uso da lata é... 1.

Agora, na segunda operação de subtração fazemos:
190 litros
  -6 ' '
________
184 ' ' e o número de uso da lata é... 2.

Na terceira operação de subtração, com essa nova capacidade sera:
184 litros
  -6 ' '
________
178 ' ' e o número de uso da lata é... 3. E vamos de forma continuada até que:

10 litros
-6 ' '
________
04 litros (é o resto da divisão) e o número de uso da lata é... 32 (é o quociente).

E assim, podemos estabelecer que: 196 : 6 = 32 é o quociente, sendo ela uma divisão dita... 
aproximada, pois o resto 4 do dividendo 196 não é nulo. 
Assim podemos interpretar que o divisor 6 está contido exatamente... 32 vezes no dividendo 196. Mas, será que fizemos a divisão certa do 196 dividido pelo 6? 
Podemos verificar isso através de um processo chamado de... “prova real da divisão” que consta do seguinte: tomamos o produto entre o quociente (q) e o divisor (d) e que deverá ser somado ao resto (r) , se não for nulo, para obtermos o dividendo (D)... ( codificando: Dividendo = divisor * quociente + resto) e em caso afirmativo... é porque a divisão está correta.
Aplicando isso para o cálculo que acabamos de fazer, ainda a pouco... divisor = 6; quociente = 32 e resto = 4, então de: D = d * q + r ==> D = 6 * 32 + 4 ==> D = 192 + 4 = 196... que o dividendo.
Vamos passar para outra forma de divisão, que é a seguinte: considere que há uma grande quantidade de peixes ornamentais no tanque e que queiramos dividir isso por três. Então, faremos uso de três vasilhames (bacias com água) e... na 1ª distribuição colocamos um só peixe em cada bacia.
Na 2ª distribuição... mais um peixe em cada uma delas que agora apresentam 2 peixes em cada.
E assim continuamos por 39 dessas distribuições e verificamos que não houve resto, i. é, não
sobraram peixes. Agora, eu pergunto: 
quantos peixes havia naquele tanque?



                                              ANTES                                                                       DEPOIS



























Ah, professor! Através daquela prova, a tal da... “prova real da divisão”, ou seja: D = d * q + r... o que dá: D = 3 * 39 + 0, assim... D = 117 peixes.
Muito bem! Então, aqui fizemos uma divisão entre o número dividendo D = 117, repartido para três lugares que é o número divisor... d = 3, para obtermos o número quociente q = 39 e o resto nulo... r = 0.
E por aqui ficamos sabendo que: 3 está contido exatamente 39 vezes em 117, ou por outro lado, podemos afirmar que... a terça parte, ou ainda, 1/3 de 117 são exatamente... 39 unidades.

(continua na 3ª parte)

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quarta-feira, 8 de junho de 2011

DIVISÃO... PRA TRÊS CABEÇAS!!!!! (parte I)

Dividir... pra três cabeças!
Parte (I):

-Professor! Nós três aqui, não sabemos o que é... dividir!
-Uma pergunta: vocês sabem subtrair?
- Alunos A, B e C: sabemos! 
Agora, saber dividir até que sabemos, mas, é a sua mecânica que  não entendemos. Também achamos ser a divisão... uma operação muito complicada!
-Ótimo! Outra pergunta: vocês dominam as tabuadas da multiplicação?
-Aluno A: não!
-Aluno B: mais ou menos!
-Aluno C: É o meu trauma, professor! Não consigo decorar aquelas 100 perguntas da tabuada!




-Então, através de três situações, três problemas... vou procurar fazê- los entender e dominar de vez a operação de divisão entre dois números inteiros. Mas, antes disso, vou lhes facilitar o trabalho  para a “memorização” daquelas... 100 perguntas da tabuada da multiplicação. 

1º) Toda multiplicação por zero dar um produto igual a zero!

2º) Toda vez que multiplicar dois números a e b empregue a chamada... operação comutativa  da multiplicação em que ela afirma: “ a ordem dos fatores não altera o produto”! 
Por exemplo: sejam  a =5 e b= 16 então os fatores para a multiplicação... 5 X 16 = 80, mas, pela propriedade comutativa da multiplicação, podemos chegar ao mesmo resultado se invertermos a posição dos fatores... 16 X 5 = 80, o que é verdeiro.

3º) Começamos a estudar as tabuadas dos números desde o 0 (zero) ao 10, isto é: 
em ordem crescente dos termos das multiplicações (os denominados... multiplicando).























4º) De todas as “perguntas” da tabuada, devemos realmente  memorizar  as dez mais difíceis,  a saber:

 0 X 0 = 0;
 1 X 1 = 1;
 2 X 2 = 4;
 3 X 3 = 9;
 4 X 4 = 16;
 5 X 5 = 25;
 6 X 6 = 36;
 7 X 7 = 49;
 8 X 8 = 64;
 9 X 9 = 81
 e finalmente...
10 X 10 = 100.

 Que são os quadrados de 0²=0; 1²=1; 2²=4; 3²=9; 4²=16; 5²=25; 6²=36; 7²=49; 8²=64; 9²=81 e 10²=100.



5º) Por empregar a propriedade comutativa da multiplicação (a ordem dos fatores não alteram o produto) em cada uma das tabuadas estudadas anteriormente, a dificuldade para se responder às perguntas das demais tabuadas ainda não estudadas, dar-se-á a partir do quadrado do número dessa tabuada para baixo,
por exemplo: 
depois de ter estudado as tabuadas de: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e a de 6, você se
depara com a tabuada da vez... a tabuada do 7 e vejamos o que acontece:

7 X 0 = 0 ==> você poderá responder, pois a multiplicação por 0 é sempre igual a zero.
7 X 1 = 7 ==> você poderá responder, pois a multiplicação de 1 X... você viu que 1 X 7 = 7.
7 X 2 = 14 ==> '                                                                                                     ' 2 X 7 = 14.
7 X 3 = 21 ==> '                                                                                                     ' 3 X 7 = 21.
7 X 4 = 28 ==> '                                                                                                     ' 4 X 7 = 28.
7 X 5 = 35 ==> '                                                                                                     ' 5 X 7 = 35.
7 X 6 = 4 2==> '                                                                                                     ' 6 X 7 = 42.
7 X 7 = 4 9 ==> essa aqui você só responderá se já memorizou o... 7² = 7 X 7 = 49.  
7 X 8 = 56 ==> não sabe ainda, precisa memorizar!
7 X 9 = 54 ==> '                                                       '!
7 X 10 = 70 ==> '                                                     '!
                                                    
Percebe a vantagem que se obtém com esses conhecimentos? 
Na tabuada do 7 apenas três  das “perguntas” sobre ela é que não conhecíamos ainda para poder respondê-las!

6º) depois de ter estudado uma dessas tabuadas de forma sistemática... 0 X; 1X ; 2X; …;9X e 10X,  então, procure responder de forma aleatória (peça ajuda de alguém) e anote... qual são as perguntas  que você erra e/ou demora em responder.

7º) Faça o mesmo para todo conjunto das tabuadas.

- Mas, professor! Por que estudar multiplicação... se a operação que queremos é de divisão?
-Poque a multiplicação ajuda a resolver a divisão! Elas são operações contrárias ou inversas.
-Como assim?
-O que uma faz a outra desfaz
Como eu tinha dito, vamos tomar um exemplo de situação problema que  é a seguinte: suponha que temos um tanque da dimensão de um dormitório, com a altura de 1,00 metro  e onde nadam peixes ornamentais. 
Por alguma razão, você deverá esvaziar esse tanque com o auxílio  de uma lata de tamanho médio, mas de capacidade ainda não determinada e é pedido que você toda vez que enchê-la completamente com a água do tanque, despeje a mesma em outro tanque ao lado daquele e vá anotando o número de vezes que fará isto, até que a água que reste no tanque não possa
 encher completamente a lata ou que não reste mais água no tanque
. Entenderam?!



                            





















Crédito: mapfremulher.com.br


                                                               Crédito: mtscabos.com.br


-Ah! Mergulhamos a lata no tanque e uma vez cheia, aí despejamos no outro tanque e anotamos... uma vez, duas vezes, três vezes e etc, que essa lata foi usada até o final! É isso?
-Certo! Isso mesmo! 
E vamos dizer que se fez isso pela 32ª vez, até que só restaram os peixes e pouca água que não completavam a capacidade da lata. 
E aí, terminamos de fazer uma... DIVISÃO!!!!!
-Como divisão? O que fizemos foi ir diminuindo-se o conteúdo da água no tanque, até que só restasse um pouquinho e os peixes!




                                 Crédito: petbr.com.br


-A divisão é a operação matemática em que tomamos dois números... o maior chamamos de dividendo e um outro menor ou igual ao primeiro, ao qual denominamos de divisor
Então procuramos saber... quantas vezes o divisor está contido no dividendo e a esse resultado... chamamos de quociente.
Também reparamos se do número maior... o dividendo, ao final da operação, se sobram algumas unidades dele (sempre menor que o divisor), que é o resto da divisão efetuada. 
O fato é, que: 
sendo o resto nulo dizemos se tratar de uma divisão exata e para um resto diferente de zero, como no nosso exemplo, aí dizemos que a divisão é aproximada. 
Pois bem, no nosso problema temos: 
o dividendo é o  conteúdo d'água do tanque; o divisor é a capacidade da lata e o número de vezes em que ela foi usada para esvaziar o tanque... é o quociente e como restou alguma água no fundo do tanque (não dava para encher a lata) esse é o resto da divisão, que por sinal, por esse motivo... é uma... divisão aproximada. 
Sacaram essa? Através da subtração continuada, usando-se o mesmo subtraendo, dividimos o conteúdo do tanque (dividendo) pela capacidade da lata (divisor), obtivemos o número de vezes que essa capacidade está contida no tanque (quociente igual a 32) e que o resto é diferente de zero, pois é a  água que sobrou no tanque (alguns litros). 

 (continua na 2ª parte)...

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20/08/2014
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