domingo, 3 de fevereiro de 2013
SOLUÇÃO PARA O DESAFIO DO SUPERMAM BIZARRO!!!!!
A MATEMÁGICA QUE SALVOU A TERRA!!!!!
Prezado, Supermam!!!!
Cordiais saudações!!!!
Atendendo ao vosso pedido de ajuda, apresento aqui, as minhas soluções, para as três perguntas do desafio matemático... “Desafio do Mundo Bizarro”, que consistia em respondê-las realizando-se os cálculos e dando-se as respostas, tudo isso, utilizando-se apenas, uma página de uma folha de papel tipo A4.
Passarei agora, a dar as explicações relativas à cada uma das questões, começando pela primeira, cujo texto é:
“1º) atualmente o meu mundo tem 5432 unidades cúbicas em cada aresta e um volume de 160279981568 k m ^ 3. Qual seria o volume se cada aresta aumentar em uma unidade????”...
e para responder a essa questão, temos que acharmos 5433 ^ 3, o seja, o cubo de 5433, o que para isso, podemos usar o binômio de Newton... (a + b) ^ 3, ou seja:
um produto notável, o cubo de uma soma de dois termos, onde a = 5432 e b = 1 e, assim...
(5432 + 1 ) ^ 3 = 5432 ^ 3 + 3 * 5432 ^ 2 * 1 + 3 * 5432 * 1 ^ 2 + 1 ^ 3 (cubo do 1º termo mais... três vezes o quadrado do 1º termo multiplicado pelo 2º termo... mais... três vezes o 1º termo pelo quadrado do 2º termo e mais... o cubo do 2º termo).
Acontece que... 1 ^ 2 =1 e 1 ^ 3 =1 nos produtos que se faz ali, não é problema, mas para, 5432 ^ 3 e... 5432 ^ 2, esses cálculos exigem uma superfície de papel bem mais extensa do que a apresentada por uma folha tipo A4!!!!
Lembrando de como já resolvera, não faz muito tempo, um desafio parecido com esse (veja aqui, em... http://matemagicasenumeros.blogspot.com.br/2012/10/a-solucao-para-o-desafio-big-susto.html ), resolvi criar um outro algoritmo também, parecido com o P. Q. P. e, assim, inventei mais um, o qual batizei de...
F. D. P. (Fácil Desenvolvedor Polinomial) exatamente, como você pensou o que era, ou não???? Rsrsrsrs!!!!
Pelo que foi descrito de como se construiu o planeta Bizarro (sempre aproveitando-se o volume de um cubo anterior com aresta n, para obter-se o novo volume para um cubo de aresta n + 1)
e como fui informado, qual tinha sido o volume do planeta com aresta com 5432 km, então, restava somente descobrir como compactar os cálculos para... 5432 ^ 3 e 5432 ^ 2.
Analisando como os bizarros constrói seu planeta com volumes cúbicos sucessivos... ladeando três faces de um cubo já existente com aresta n, com três peças cúbicas com dimensões... n * (n + 1) *1 para um cubo com aresta n +1 e completando o novo volume com mais uma uma unidade cúbica (unidade vazada), algebricamente temos:
(n + 1) ^ 3 = 3 [ (n + 1) n ] + n ^ 3 + 1 então, claro, para calcular o volume de 5433 peças cúbicas na aresta, bastava fazer...
5433 ^ 3 = 3 * 5433 * 5432 + 160279981568 + 1!!!!
Mas, espera aí, como podemos reduzir os cálculos para... 3 * 5433 * 5432????
Foi aí, que descobri que (isso já tinha sido inventado???? Não tenho conhecimento disso!!!!) quando se tem um produto de números inteiros e consecutivos, por exemplo: 7 * 8 = 56, podemos obtermos esse produto através de... 7 ^ 2 + 7 = 49 + 7 = 56, sabiam disso????
Pois, é!!!! E, portanto... para 5433 * 5432 eu poderia fazer... 5432 ^ 2 + 5432, certo???? Poderia também, agora, utilizar o algoritmo P. Q. P. para encontrar o quadrado de 5432, como de fato, fiz e você poderá conferir na parte à direita da imagem abaixo!!!!
Mas, para que bem compreendido, transcreverei aqui...
5432 ^ 2 = 4 que é o quadrado do 2 no final do número 5432!!!!
5432 ^ 2 = (30 + 2) ^ 2
= 30(30 + 2 + 2) + 4
= 30(34) + 4
= 1020 + 4
= 1024
5432 ^ 2 = (400 + 32) ^ 2
= 400(400 + 32 + 32) + 1024
= 400(464) + 1024
= 185600 + 1024
= 186624
5432 ^ 2 = (5000 + 432) ^ 2
= 5000(5000 + 432 + 432) + 186624
= 5000(5864) + 186624
= 2932000 + 186624
= 29506624 que é o quadrado daquele número ali!!!!
Agora, partimos para calcularmos...
5433 ^ 3 = 3 * [5433 * 5432] + 160279981568 + 1
5433 ^ 3 = 3 * [5432 ^ 2 + 5432] + 160279981568 + 1
5433 ^ 3 = 3 * [29506624 + 5432] + 160279981568 + 1
5433 ^ 3 = 3 * [29512056] + 160279981568 + 1
5433 ^ 3 = 88536168 + 160279981568 + 1
5433 ^ 3 = 160368517737 unidades cúbicas!!!!
5433 ^ 3 = 160368517737 unidades cúbicas!!!!
Para responder a segunda questão do desafio, cujo texto é:
“2º)quantas unidades cúbicas vazadas, teríamos na diagonal do planeta????”...
não demanda muito cálculo, uma vez que, como podemos ver pelas imagens seguintes...
fica claro que, para cada aresta de um cubo com n unidades teremos a mesma quantidade delas colocadas na diagonal do cubo. Por isso, a resposta é:
haveria 5433 unidades cúbicas!!!!
Também, para darmos a solução para a terceira pergunta, cujo texto era:
“3º) qual o volume em km ^ 3 haveria no túnel formado pelas unidades vazadas, se cada aresta do planeta tivesse 5439 unidades????”...
como no caso anterior, não necessitamos fazermos cálculo nenhum, pois, cada unidade cúbica que forma o planeta Bizarro, tem aresta igual a 1 km e, portanto, tem um volume de 1 km ^ 3.
Pelo que se afirmou na resposta anterior, podemos assegurar que... para uma construção planetária bizarra com 5439 unidades em sua aresta teremos... 5439 unidades cúbicas (vazadas e formando um túnel) na diagonal do planeta.
Ora, como cada uma dessas unidades tem um volume cúbico igual a 1 km ^ 3, esse túnel terá o volume de...
5439 km ^ 3!!!!
Esperando ter conseguido resolver o desafio, o seu problema, estarei à vossa disposição para outras empreitadas e, que estejam ao meu alcance e nas possibilidades da minha realidade.
Atenciosamente...
a) Francisco Valdir de Lima (matemágico).
********************************************************************************
