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sexta-feira, 2 de setembro de 2011

FATORAÇÃO DE HORNER... É UM NEGÓCIO DA CHINA!!!!!


Antes de mostrar, o que é a... " Fatoração de Horner", quero lembrar que os professores ao ensinarem aos seus alunos o que é valor numérico (v. n.) de um polinômio, falam algo assim: “ substituímos na equação dada, a letra que representa a variável por um número indicado e efetuamos os cálculos cujo resultado, é o valor numérico desse polinômio quando a variável assume esse determinado valor”! 














Crédito: www.marlivieira.blogspot.com




                         






   
                                            



                                                     
                                                                                    Crédito:lwww.livroszura.com.br   



   
                                Crédito: www.matyarteedecor.blogspot.com                                   



                               
                                                                 









Crédito: www.tiara-lugaresmaravilhosos.blogspot.com

O polinômio dado sendo do 1º grau, não produz nenhuma dificuldade para os alunos calcularem vários v. n. que se obtêm para vários valores atribuídos para a variável. Exemplo: seja P(x) = 3 x – 1... para x=2, x=5, x=13 e x=15. 
 Então fazemos: P(2)= 3 * 2 -1 ==> P(2) = 6 -1 ==> P(2) = 5 (v. n.); P(5)= 3 * 5 – 1 ==> P(5) = 15 -1 ==> P(5) ==> 14 (v. n.); P(13) = 3 * 13 – 1 ==> P(13)= 39 – 1 ==> P(13) = 38 (v. n. ) e P(15) = 3 * 15 – 1 ==> P(15) = 45 -1 ==> P(15) = 44 (v. n. )
e assim, em cada um desses casos, basta o aluno realizar uma multiplicação e uma soma para obter um v. n! Agora, vejamos o que acontece se o polinômio fosse do 2º grau, ou seja: P(x)= 3 x ^ 2 - 1 para x=2, x=5, x=13 e x=15. 
 Então nesse caso fazemos: P(2)= 3 * 2^2 -1 ==> P(2) = 3 * 4 -1 ==> P(2) = 12 -1 = P(2) = 11 (v. n.); P(5)= 3 * 5^2 – 1 ==> P(5) = 3 * 5*5 -1 ==> P(5) 3 * 25 – 1 P(5) = 75 -1 ==> p(5) = 74 (v. n.); P(13) = 3 * 13 ^ 13 – 1 ==> P(13)= 3 * 169 – 1 ==> P(13) = 507 – 1 ==> P(13) = 506 (v. n. ) e P(15) = 3 * 15 ^15 – 1 ==> P(15) = 3 * 225 -1 ==> P(15) = 675 – 1 ==> P(15) = 674 (v. n. ). 

Portanto, em cada uma dessas buscas de v. n. o aluno teria que fazer duas multiplicações e uma soma  mas, realizaria mais uma multiplicação e uma soma a mais se o polinômio fosse completo). 
E isso continua com outros polinômios de grau n mais elevado e sendo obrigado a realizar... mais e mais multiplicações e somas de termos, principalmente, se o polinômio dado for da forma completa. 

Nessa hora, se o indivíduo não dispuser de pelo menos, de uma calculadora simples a sua tarefa deverá pelo menos se estender por vários minutos do seu precioso tempo (coisa que será contornada pelo uso de calculadoras programáveis e de computadores) e dependendo da dimensão da tarefa, a pessoa acaba desistindo dela. O uso de uma calculadora simples, no entanto, apenas minimiza o sofrimento e o tempo de execução. Mas, aí faz-se uma pergunta de praxe: “ não há uma maneira mais camarada para se calcular isso”? Dependendo de mim, eu respondo: “claro que existe! E atende pelo título de... fatoração de Horner” assim denominada por ter sido criada pelo matemático inglês, William George Horner (1786-1837). Este método foi apresentado no dia 01/07/1817 à Royal Society e também, no mesmo ano, teve a sua publicação lançada no “Philosophical Transation of The Royal Society” mas, e bom que se diga, segundo se fala, que o Horner embora diga que fora o inventor do metodo, os méritos devem ser dados ao matemático chinês... 


                                       Crédito: www.marcosgeograficos.org.br

Zhu Shijie (1270-1330) ou seja: 500 anos antes de Horner apresentar esse método como sendo da sua invenção, o chinês Zhu Shijie já o inventara e... de quebra também teria inventado o dispositivo que nós conhecemos com... triângulo de Pascal

Quando fiz o curso de matemática na UFRN, paguei a disciplina de... cálculo numérico e no livro adotado... dentro do acervo de algoritmos existentes ali, havia: Newton, Lagrange, Taylor e outros, quase que... como uma curiosidade, estava esse método. 
 O método de fatoração de Horner, quando empregado na procura de v. n. dessas equações, facilita de tal forma que, mesmo que efetuemos os cálculos manualmente, tenhamos redução de tempo nessa tarefa. 
Vamos apresentá-la: seja...
 P(x) =an x^n + an – 1 x^n-1 + a2x^2 a1x + a0 
        =(anx^n-1 + an-1x^n-2 +... + a2x + a1)x + a0 
        =((anx^n-2 + an -1x^n-3 + … + a2)x+ a1)x + a0 . . . . . . . . . 
     =((... (anx + an-1)x +... + a2)x + a1)x + a0. // n-1 parênteses em sua forma algébrica, mas, já notamos por aí que, todas as potências são transformadas em multiplicações de sorte que, quando tivermos polinômios completos de grau n, faremos n multiplicações e n somas. Ilustremos isso com exemplos : o primeiro... P(x)= 3 x ^ 2 - 1 que é um polinômio do 2° grau, incompleto o qual, anteriormente já resolvemos pelo método tradicional, então, fatorado pelo método de Horner, fica assim: ordenando-se em ordem decrescente segundo as potências da variável x, assim... 
P(x)= 3 x ^2 + 0 x – 1; e aplicando Horner... obtemos: 
P(x)=(3*x + 0)x - 1. 
E para x=2, x=5, x=13 e x=15 realizamos: P(2)=(3*2 + 0)2 -1==> P(2)= 6*2-1==> P(2)=12-1==> P(2)=11 v.n. 
 P(5)=(3*5 + 0)5-1==> P(5)=(15)5-1==> P(5)=75-1==> P(5)=74 v.n. 
 P(13)=(3*13 + 0)13-1==> P(13)=(39)13-1==> P(13)=507-1==> P(13)=506 v. n. 
P(15)=(3*15 + 0)15-1==> P(15)=(45)15-1==> P(15)=675-1==> P(15)=674 v. n. procurado. 
Vamos dar mais dois exemplos onde: primeiro faremos a fatoração e em seguida procuramos o v. n. para o x=5: seja... P(x)=2x^4 – 5x^3 – 2x^2 + 4x – 8 e fatorando temos: 
P(x)=(2x^3 – 5x^2 – 2x + 4)x – 8 
P(x)=((2x^2 – 5x -2)x + 4)x -8 
P(x)=(((2x – 5)x – 2)x + 4)x – 8 pronto, agora para achar o v. n. para x=5, temos: 
  P(5) =((( 2*5 -5)5 -2)5 +4)5 -8 
  P(5) =((( 10 -5)5 -2)5 +4)5 -8
  P(5) =((5*5 -2)5 +4)5 -8
  P(5) =((25 -2)5 +4)5 – 8
  P(5) =((23*5 +4)5 -8
  P(5) =(115 +4)5 -8
  P(5) =119*5 -8
  P(5) = 595 -8
  P(5) =587 que é o v. n. 
 Veja que realizamos quatro multiplicações e quatros somas. Passemos ao próximo polinômio: P(x)=3x^9+2x^8–10x^7+2x^6–5x^5–3x^4+2x^3–6x^2+3x-5 
P(x)=(3x^8+2x^7–10x^6+2x^5–5x^4–3x^3+2x^2–6x+3)x-5 
P(x)=((3x^7+2x^6–10x^5+2x^4–5x^3–3x^2+2x–6)x+3)x-5 
P(x)=(((3x^6+2x^5–10x^4+2x^3–5x^2–3x+2)x– 6)x+3)x-5 
P(x)=((((3x^5+2x^4–10x^3+2x^2–5x–3)x+2)x– 6)x+3)x-5 
P(x)=(((((3x^4+2x^3–10x^2+2x–5)x–3)x+2)x–6)x+3)x-5 
P(x)=((((((3x^3+2x^2–10x+2)x–5)x–3)x+2)x–6)x+3)x-5 
P(x)=(((((((3x^2+2x–10)x+2)x–5)x–3)x+2)x– 6)x+3)x-5 
P(x)=((((((((3x+2)x–10)x+2)x–5)x–3)x+2)x– 6)x+3)x-5 está aí a nossa fatoração de Horner para o polinômio dado. Agora vamos calcular o v.n. 

Para o x=7 (vamos pintar o sete?), assim... teremos: 
P(7)=((((((((3*7+2)7–10)7+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((((((((21+2)7–10)7+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=(((((((23*7–10)7+2)7–5)7–3)7+2)7–6)7+3)7-5 
P(7)=(((((((161–10)7+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((((((151*7+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((((((1057+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((((((1059)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=(((((1059*7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=(((((7413–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=(((((7408)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((((7408*7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((((51856–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((((51853)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=(((51853*7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=(((362971+2)7– 6)7+3)7-5 
P7x)=(((62973)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((62973*7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((2540811– 6)7+3)7-5 
P(7)=(2540805*7+3)7-5 
P(7)=(17785635+3)7-5 
P(7)=17785638*7-5 
P(7)=124499466-5 
P(7)=124499461 que é o v. n. procurado. 
Note que, com nove multiplicações e também nove somas, realizamos a tarefa e... só pela economia de tempo para se calcular esses valores... é um negócio da China! E viva a economia!!!!! .

Obs: A postagem é um resumo do conteúdo da minha apresentação como palestrante no ano passado na XXII Semana de Matemática da UFRN no Campus Universitário de Natal RN. 

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4 comentários:

Kleber Kilhian disse...

Olá Valdir,
Vivendo e aprendendo. Conheço esse método como Método dos Parênteses Encaixados. Para fins computacionais, se tivermos um polinômio Pn(x) com n muito grande, as contas são muito grandes, mas podem ser reduzidas consideravelmente se deixarmos o polinômio da forma dos parênteses encaixados, ou utilziando o algoritmo de Horner.
Muito boa postagem. Parabéns!
Um abraço.

3 de setembro de 2011 14:57
Francisco Valdir disse...

Olá, Kleber!
É mais um método para que se ganhe rapidez nos cálculos, mesmo agora, com a maciça utilização da calculadoras e dos computadores, um método inventado há tanto tempo (isso é muito interessante) facilita mais ainda essas tarefas do cálculo e nos dar a capacidade, conforme seja a necessidade, de encarar o trabalho de forma manual e sem muitas perda de tempo.
Tenho a lembrança de que falavam de... Método de parênteses aninhados ou era esse nome que você citou, não lembro bem.
Obrigado, pela força e apoio, meu amigo!

Um abraço!!!!!

3 de setembro de 2011 16:21
Aloisio Teixeira disse...

Interessante, Valdir! Será que é possível achar os coeficientes de um polinômio só com os VN, com este método??

19 de fevereiro de 2012 11:26
Francisco Valdir disse...

Olá, Aloísio Teixeira!!!!

É bem possível, desde que se saiba o grau do polinômio, dois valores numéricos(pelo menos) e o termo independente. Quantos mais dicas, melhor!!!!
Está tendo uma ideia? Vá em frente, pois, é a partir dessas perguntas provocadas por uma vaga suspeita de possibilidade, que podemos com persistência, cair em campo e descobrir outros caminhos, outras soluções, coisa que acontece comigo, acredito que com você também e outros que teen o poder de criatividade à mil!!!!

Um abraço!!!!!

19 de fevereiro de 2012 13:11

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