sábado, 20 de outubro de 2012
A SOLUÇÃO PARA O DESAFIO... "BIG SUSTO"!!!!!
O "BIG SUSTO" É UMA BRINCADEIRA... "MUITO SÉRIA"!!!!!
O MANJAR DOS DEUSES!!!!!
Depois de passados vinte anos desde que esse desafio foi lançado por mim, enfim, resolvi mostrar agora para uma multidão de curiosos, como é que eu consigo resolver o impossível "Big Susto" e cujo texto é:
"Sabendo-se que o quadrado do nº 12345678998765432124680135799753108642 é igual a 152415789940557842616702126559092030669192907385003431913488122542655084164, encontrar os quadrados do seu antecessor e sucessor, bem como, o quadrado do número 5712345678998765432124680135799753108642, utilizando-se para isso, lápis ou caneta e de apenas uma página de papel de tamanho ofício, onde deverão ser lançados todos os cálculos e as respostas aritméticas escritos com grafia normal".
Foi aí, que o “Big Susto” começou a vir à tona!!!!
O MANJAR DOS DEUSES!!!!!
Depois de passados vinte anos desde que esse desafio foi lançado por mim, enfim, resolvi mostrar agora para uma multidão de curiosos, como é que eu consigo resolver o impossível "Big Susto" e cujo texto é:
"Sabendo-se que o quadrado do nº 12345678998765432124680135799753108642 é igual a 152415789940557842616702126559092030669192907385003431913488122542655084164, encontrar os quadrados do seu antecessor e sucessor, bem como, o quadrado do número 5712345678998765432124680135799753108642, utilizando-se para isso, lápis ou caneta e de apenas uma página de papel de tamanho ofício, onde deverão ser lançados todos os cálculos e as respostas aritméticas escritos com grafia normal".
Primeiro,
o leitor deverá ficar sabendo que esse desafio matemático foi
lançado por mim, oficialmente em... 08/10/1992, ainda quando
estudava matemática na UFRN. Propositadamente, a partir dessa data
dei um prazo de dez anos para que alguém achasse uma solução
aritmética para o problema. Mas, antes disso, desde o ano de 1986,
eu já vinha desafiando as pessoas com o tal quebra-cabeças.
Depois
de esperar em vão, a partir de 1992, esse tempo todo, ainda dei em
2002, mais uma complementação temporal de mais 10 anos, os quais,
findaram agora!!!! E como surgiu o “Big Susto”?????
Crédito: www.youpix.com.br
Figura 01
Figura 01
Fiquei
sabendo sobre uma curiosidade matemática, para a obtenção (um
atalho) do quadrado de um número inteiro dado, quando a sua
terminação for o algarismo... 5!!!!
Basta, que... do número dado,
façamos a separação desse número em duas partes, ou seja:
da
esquerda para a direita, obtemos um número formado com os
algarismos, desde o 1º até ao que antecede ao algarismo final... o
5, e a outra parte, o outro número, claro, é o ... 5!!!!
Exemplo: seja dado o
inteiro com terminação em 5, digamos... 185!!!!! Então, se
quisermos encontrar o seu quadrado pelo atalho (uma vez, que o mesmo
termina por 5), devemos proceder a separação do 185 em duas partes,
a 1ª é... 18 e a 2ª, naturalmente... será o 5!!!! Não sei se
você, amigo leitor, já tomou conhecimento do fato, de que, todo
número inteiro que finda por 5, tem o seu quadrado (produto de um
número por ele mesmo) sempre terminado por... 25!!!!
Sendo
assim, o produto de 185 X 185 deverá terminar por 25!!!! Mas, quem
antecede ao 25????
O fato curioso é, basta fazermos o produto do 18
(antecede ao 5 em...185, lembra-se?) pelo seu sucessor, que é... 19!!!!
Daí, 18 X 19 = 342 que antecederá (juntar-se-á) ao 25, portanto, 185
X 185 = 34225!!!!
Eu me
perguntei: “por que isso só se dá para números terminados pelo
5????”!!!!
Outra coisa também, para números mesmo terminados por
5, mas que possuam muitos dígitos, por exemplo: 81706471864375 onde
já sabemos que o seu quadrado terminará por 25, mas, o produto
de... 8170647186437 X 8170647186438???? Esse cálculo é rápido????
Na minha opinião, não é!!!! Pensei em inventar algo para facilitar
isso!!!!
Então,
comecei a procurar achar o quadrado por esse processo ou inventar
algum outro “atalho”, que facilitasse a obtenção do quadrado de
um número inteiro, cuja terminação, não fosse o número... 5!!!!
Nas
coisas “ loucas” que inventei para resolver esse problema, como
não davam resultado, então, para encurtar as histórias, fiz uso da
leitura do livro “A arte de resolver problemas”... do George
Polya, presente de meu cunhado que é professor de cálculo na UFAL,
cuja capa (ver figura 2) é esta aqui.
Figura 02
Seguindo aquelas orientações ali nos textos, acredito que, de certo modo, pensei em empregar a geometria e, ao fazer uma interpretação geométrica para o que eu procurava, pasmem, a solução para aquilo que procurava, não saiu nas “dicas” que o George escrevera no seu livro, mas, foi essa ilustração da capa do livro, a qual, quando numa das vezes que bati o olho nela, percebi que, na formação de quadrados para números inteiros consecutivos, em termos geométricos, a área do quadrado de lado n, ajuda na formação da área do quadrado de lado n + 1, como passo a mostrar acima nessa imagem:
Seguindo aquelas orientações ali nos textos, acredito que, de certo modo, pensei em empregar a geometria e, ao fazer uma interpretação geométrica para o que eu procurava, pasmem, a solução para aquilo que procurava, não saiu nas “dicas” que o George escrevera no seu livro, mas, foi essa ilustração da capa do livro, a qual, quando numa das vezes que bati o olho nela, percebi que, na formação de quadrados para números inteiros consecutivos, em termos geométricos, a área do quadrado de lado n, ajuda na formação da área do quadrado de lado n + 1, como passo a mostrar acima nessa imagem:
Bom, não
era o que eu queria, mas, sob certas condições, já ajudava
bastante e... esse “atalho” para se encontrar os quadrados, não
seria ou estaria relacionado com o “binômio de Newton”????
Sim!!!!
Os produtos notáveis, tipo: (a +b) ^2 = a ^2 + 2ab + b ^2,
podem ser demonstrados através da geometria por meio de desenhos de
quadrados!!!!
Usando-se isso para um número como...
81706471864375... temos: a = 81706471864370 (por Newton) e...
8170647186437 (pelo atalho) e o número b = 5 (nos dois casos)
onde...
b ^ 2 = 5 ^ 2 = 5 X 5 = 25!!!! Facílimo, isso!!!!!
Mas, pelo
atalho... 8170647186437 X 8170647186438 juntando-se à frente do 25,
ou também, para... 81706471864370 ^ 2 + 2 X 81706471864370 X 5 +
5 ^ 5 (segundo Newton), como fazer a compactação desses
cálculos????
Bem, para acontecer isso... será que eu poderia
reescrever a fórmula do binômio de Newton???? Não custa nada,
tentar!!!!!
Vejamos...
(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2
= a ^ 2 + a2b + b ^ 2
= a ^ 2 + a (2b ) + b ^ 2
= a ^ 2 + a ( b + b) + b ^ 2
colocando-se o “a” em evidência, para o 1º e 2º
termos...
obtemos... = a [ (a + b) + b ] + b ^ 2
!!!!
EUREKA!!!!!
CHEGAMOS LÁ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Foi aí, que o “Big Susto” começou a vir à tona!!!!
Então, para
calcularmos os quadrados dos números que são sucessores e
antecessores para um certo número dado e, que já sabemos qual o
valor do seu quadrado, tomando-se “carona” nesse valor, podemos
perfeitamente, com o emprego de... a [ (a + b) + b ] + b ^ 2
observando-se que: “a“ será formado pelo algarismo na extrema
esquerda do número dado e... seguido de tantos zeros (valor relativo
do número), quantos sejam, os algarismos que estiverem à sua
direita, os quais, por sua vez, formarão número b e...assim,
teremos os dois termos no binômio (a + b) ^ 2!!!!
Batizei
esse algoritmo de... P. Q. P. Valdir/Newton!!!! KKKKKKKKK!!!!! Não é
o que vocês estão pensando, seus mentes sujas!!!! Com... “P. Q.
P.”... eu quero dizer: “Poderoso Quantificador Potencial de
Valdir/Newton” , certo???? KKKKKKK!!!!!
Só para
vocês sentirem o drama ainda naquela época, como sofriam os
pesquisadores de mentes criativas no Brasil (sofriam???? E agora,
não????) vou contar-lhes o que me aconteceu!!!!
Quando cheguei a
essa “descoberta com a mexida na fórmula” e quando me
perguntaram o que eu estaria inventando, só para ver as reações,
eu respondia: “estou querendo criar algo e... para isso, vejo a
necessidade de “mexer” na fórmula binomial de Newton”!!!!
Pronto, o tempo fechava para mim, pois, desabava uma chuva de
protestos e de gozações do tipo: “você pra mim, parecia um
doido, mas, agora eu não tenho mais dúvidas disso”; “ O Newton
foi o maior QI que já existiu na Terra, um gênio e você não me
parece ser um super gênio para brigar com ele”; “Newton é
Newton e as suas obras são intocáveis”; “desista disso, senão
o manicômio terá mais um hóspede e... já sei quem será” e...
mais outras frases como essas!!!!
Viu só???? Será que o tempo
passa, mas, essa prática nunca vai mudar???? MUDA BRASIL!!!!!!
Agora,
como prometi na postagem do... “ É BIG!!!! É BIG!!!! É BIG
SUSTO!!!!”, que faria a demonstração numérica para o desafio,
como concordo que... “promessa é dívida”, eis a minha solução
para esse desafio e, para que fique bem compreendido, primeiro:
vamos usar um número de menor valor, por exemplo, o número 17!!!!
Então, sabendo-se que o quadrado de 17 ( o número dado) é igual a
289, pede-se: encontrar os quadrados do seu antecessor e sucessor,
bem como, o quadrado do número... 217!
Basta
utilizarmos os algoritmos: “P. Q. P. Valdir/Newton” para
encontrar: o quadrado de 16 (antecessor de 17) que é igual à
diferença entre o quadrado de 17 menos a soma de 17 mais 16, i.é:
16 ^ 2 = 17 ^ 2 – (17 + 16) ==> 16 ^ 2 = 289 – 33 ==> 16 ^
2 = 256 Ok????
E o
quadrado de 18 (número sucessor do 17), será igual à soma do
quadrado de 17, mais a soma de 18 mais 17 e temos: 18 ^ 2 = 17 ^ 2 +
(18 +17) ==> 18 ^ 2 = 289 + 35 ==>18 ^ 2 = 324 Ok????
Vamos
achar o quadrado de 217 assim: 217 ^ 2 = 200[200 + 17 + 17] + 289
==> 217 ^ 2 = 46800 + 289 ==> 217 ^ 2 = 47089 Ok! Copiou????
E se
fosse o número 3217 em vez do... 217, como faremos, segundo, o
algoritmo???? Agora!!!!!
Para acharmos o quadrado de 3217 através
do emprego do “P. Q. P. Valdir/Newton”, temos duas etapas, onde
pegamos “carona” no valor do quadrado de 17 (que já conhecemos)
e assim...
==>
3217 ^ 2 = 3000 [3000 + 217 + 217 ] + (200 ((200 + 17 + 17 )) + 289 )
==>
3217 ^ 2 = 3000 [3000 + 217 + 217 ] + (200 (234) + 289 )
==>
3217 ^ 2 = 3000 [3000 + 217 + 217 ] + (46800 + 289)
==>
3217 ^ 2 = 3000 [3000 + 217 + 217 ] + 47089
==>
3217 ^ 2 = 3000 [3434 ] + 47089
==>
3217 ^ 2 = 10302000 + 47089
==>
3217 ^ 2 = 10349089 Ok! Copiou novamente???? E... vamos que
vamos!!!!
Muito
bem! Por analogia, já que conhecemos o caminho das pedras (agora,
não é meu caro????) podemos perfeitamente resolver o desafio do
“Big Susto” i. é: encontrar os quadrados dos números...
12345678998765432124680135799753108641;
12345678998765432124680135799753108643 e
5712345678998765432124680135799753108642 , sendo dado o
quadrado do número 12345678998765432124680135799753108642 que
é igual a:
152415789940557842616702126559092030669192907385003431913488122542655084164.
As
exigência são:
1ª) as
respostas são aritméticas (muitos responderam algebricamente);
2ª)
para que os cálculos e as respostas, caibam todas em uma página de
uma folha de papel tamanho ofício (tipo, A4) e …
3ª) é
pedido que... deve-se usar grafia normal, o que é perfeitamente
possível, basta somente darmos uma disposição aos números quando
somarmos e diminuirmos os mesmos, como agora vou demonstrar!
Veja
aqui, a imagem escaneada da página (papiro assustador) com as
respostas ao desafio, a qual, já passou dos vinte anos de
existência!!!!
Figura 03 "PAPIRO ASSUSTADOR"
Vou
destacar três setores nela, para que vocês posam analisar as
operações que eu fiz para encontrar cada um daqueles quadrados
pedidos, ou seja:
12345678998765432124680135799753108641
^ 2; (I)
12345678998765432124680135799753108643
^ 2 (II) e...
5712345678998765432124680135799753108642
^ 2 (III),
sendo dado o
número...
Figura 04
a =
12345678998765432124680135799753108642 cujo quadrado é...
a ^ 2 =
152415789940557842616702126559092030669192907385003431913488122542655084164
Cálculo
do quadrado do sucessor de...
12345678998765432124680135799753108642:
Veja na figura que o cálculo pode ser realizado pelo algoritmo...
Figura 05
Como poderá
constatar na imagem #04 no setor (I) !!!!!
Cálculo
do quadrado do antecessor de...
12345678998765432124680135799753108642:
Figura 06
então, o
valor de c ^ 2 sairá de uma subtração entre o quadrado do a
(número dado) e essa soma... a + c.
Cálculo do quadrado do
número... 5712345678998765432124680135799753108642:
aqui, devido
à presença do 57 colocado à frente do número a, formando um novo
valor com o número a dado o...
12345678998765432124680135799753108642, devemos calcular em
primeiro lugar, o quadrado do número...
712345678998765432124680135799753108642 e depois em seguida o
quadrado do número... 5712345678998765432124680135799753108642.
Sendo assim,
na figura 07 em... setor (III) parte a, temos:
Cálculo do quadrado do número... 712345678998765432124680135799753108642:
Figura 07
obtendo-se o
quadrado do número... 712345678998765432124680135799753108642 que é...
507436366388212162817168892246213424129469192907385003431913488122542655084164 e agora partimos, de fato, para calcularmos o quadrado de...
Cálculo do quadrado do número... 5712345678998765432124680135799753108642:
Figura 08
Como podem
ver, desse modo deverá sobrar espaço suficiente para que possamos
colocar a nossa assinatura na página da folha de papel A4, não é
mesmo? E você, caso queira obter mais espaço ali na página, poderá
realizar aquelas operações feitas nos setores (I) e (II),
colocando-se o número... 12345678998765432124680135799753108642
como sendo a segunda parcela nessa soma e somando-se a partir
dele, para cima e para baixo, obteremos os quadrados dos números...
12345678998765432124680135799753108641 e
12345678998765432124680135799753108643 de uma forma mais
compacta, por exemplo:
24691357997530864249360271599506217283 a soma do antecessor mais o
número dado.
_______________________________________
12345678998765432124680135799753108641 o antecessor do número dado.
12345678998765432124680135799753108642 o número dado.
12345678998765432124680135799753108643 o sucessor do número dado.
_______________________________________
24691357997530864249360271599506217285 a soma do sucessor mais o
número dado.
Em
seguida, podemos encontrar os quadrados daqueles números,
colocando-se o quadrado do número dado , o
12345678998765432124680135799753108642 o qual já sabemos
ser...
152415789940557842616702126559092030669192907385003431913488122542655084164
na parte central dessa formação, cuja soma desso valor com...
a + b, dá o quadrado do número b, o sucessor de a!!!! Também, se a
partir dele, subtrairmos a soma... a + c, vamos encontrar o quadrado
do número c, que é o antecessor de a, como podemos ver aqui!!!!
Figura 09
Agindo-se
desse modo deverá sobrar mais espaço, o suficiente para que
possamos colocar a nossa assinatura e mais alguma coisa que
queiramos, não é mesmo?
Portanto,
considero ter provado que sempre falei a verdade, sobre a solução,
desde o princípio para este desafio e que o algoritmo é eficaz,
para se encontrar os quadrados de números pequenos e... aloprados,
como foram esses usados no desafio... C. Q. D!!!!!
Eu não sei
agora, mas, o que diria a mim o leitor... há algum tempo atrás
quando, ao ser desafiado para dar solução ao problema percebia que:
além da magnitude dos números envolvidos, deveria contornar as
exigências impostas para a apresentação das soluções e que
exigências hein? Talvez, diria algumas das muitas expressões que
ouvi, tais como:
é
brincadeira! Nossa...você só pode estar brincando! O que é isso?
Deus me livre e guarde! Mas, isso é possível? Você está louco ou
está blefando? Impossível! Não tem solução e não quero nem
pensar! Que diabos de números grandes são esses? Olhe, nem
computador poderá resolver isso! Alguém já resolveu? Eu já
desconfiava que você era doido, mas, agora tenho certeza! Você tem
a solução? Isso é o mesmo que uma criança fazer um pequeno buraco
na areia da praia, para que receba toda a água do mar!!!!
Pois é! O
susto das pessoas que eram desafiadas para dar solução ao “Big
Susto” já começava quando as mesmas eram desafiadas, aumentava de
intensidade do susto quando viam a dimensão dos números e atingiam
o clímax (ficavam com a boca aberta e os olhos esbugalhados) quando
liam as exigências para a apresentação das respostas. Mais
espantadas e indignadas até, ficavam essas pessoas, quando me
perguntavam.... como você conseguiu obter o quadrado desse número
aloprado (12345678998765432124680135799753108642)?
Então, eu
que já esperava mesmo por essa pergunta, mostrava numa grande folha
de papel quadriculado, a multiplicação...
12345678998765432124680135799753108642 X
12345678998765432124680135799753108642
onde, é claro, o
cálculo ocupava quase que a totalidade da superfície daquela folha
de papel quadriculado, próprio para cálculos aritméticos.
A reação
com protestos era imediata!
Está vendo? Para calcular o quadrado de
um único número desses, foi preciso todo esse trabalho e gastar
toda essa quantidade de papel! Então, como você quer que seja
possível trabalhar com três números aloprados como esses e ainda,
usar um espaço tão reduzido de papel? Você só pode no mínimo,
estar blefando!
Eu então
respondia:
usei um número grande, só para causar esse espanto! O
cálculo que fiz na folha de papel com quadrícula, foi necessário
porque 12345678998765432124680135799753108642 assusta pelo
tamanho, ultrapassa a capacidade da memória para computadores e
calculadoras ( o antigo ábaco, encarava e encara essa empreitada,
não é????), enfim, ele era o número base para o problema, mas, com
a carona do seu quadrado
(152415789940557842616702126559092030669192907385003431913488122542655084164),
os cálculos pedidos para os outros números são perfeitamente
possíveis de serem feitos ocupando apenas, uma página de uma folha
de papel tamanho ofício, mesmo usando-se grafia normal!
É possível
dar solução, pois eu mesmo já o fiz, através de um algoritmo que
criei! E se acha mesmo que estou blefando, então, vamos a um
cartório para registrarmos uma aposta! Vamos? Por que não quer
apostar? Sendo assim, quando forem passados no mínimo dez anos, se
daqui para lá, ninguém der uma solução para o problema, eu o
farei através da publicação de um livro ou coisa desse tipo e...
tenho dito!!!!!
Eu lhe pergunto: você está
lembrado do episódio ocorrido com o descobridor da América, o
navegador Cristóvão Colombo?
Ao retornar da primeira expedição
exploratória do Novo Continente, lançou o desafio para os vassalos
e conselheiros da côrte espanhola que, até pouco tempo eram
contrários à ideia da redondeza da Terra e agora, achavam que a
proeza realizada por Colombo, era fácil demais. Então ele os
desafiou para que: colocassem um ovo em pé sobre a superfície lisa
e plana de uma mesa.
Após inúmeras tentativas inúteis e diante da
desistências deles, Colombo tomou o ovo e num rápido movimento,
equilibrou-o, projetando-o contra a superfície da mesa, de sorte que
o mesmo tivesse a sua base levemente amassada e assim, conseguiu
resolver o problema até então... insolúvel!!!!
E mais uma vez
ouviu o protesto daqueles nobres: “mas, isso é muito fácil”!!!!
E Colombo retrucou: “sim! Mas, depois que mostrei a solução”!!!!
Pois, também sempre considerei o “Big Susto”... uma “brincadeira
de criança”, mas, "muito séria"!!!! Vocês concordam????
Crédito: www.uricer.edu.br
Figura 10
Espero que
tenham gostado do “manjar dos deuses” que é o desafio do “Big
Susto”e da solução que eu encontrei para ele!!!! Que tal, vocês
mandarem os seus comentários falando sobre isso????
Tudo de bom
para todos vocês, meus leitores, seguidores e parceiros do blog
MATEMÁGICAS E NÚMEROS!!!! Até breve!!!!
Um
abraço!!!!!
