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sexta-feira, 4 de fevereiro de 2011

EXTRAIR A RAIZ QUADRADA... SEM USAR CALCULADORA?

Cursava engenharia mecânica na UFRN lá para o ano de 1983, mais ou menos, quando houve uma greve de professores. Passados 30 dias, mediante entendimentos com a reitoria e sindicato, veio o ritual ( é costumeiro no Brasil) da reposição da carga horária atrasada e como sempre acontecia... aulas aos sábados.
Em uma dessas aulas, ocorreu que: para se chegar à resposta de um problema que continha reposta no livro, tinha-se que extrair a raiz quadrada de um certo número com aproximação a menos de um milésimo. Então, o professor perguntou – quem tem uma calculadora aí? Como ninguém havia levado uma, o professor disse: - que tipo de alunos são vocês, que vão estudar e não se armam de uma calculadora? E os alunos, dando o troco: - e que qualidade de professor é essa, que sai pra dar aula e não leva uma também? Brincadeiras à parte, o fato é que precisávamos do resultado para o término do problema proposto.




O professor disse então: - quando eu estudei o assunto sobre extração de raízes quadradas, lembro que o meu professor me ensinou uma forma manual de se chegar ao resultado delas... com precisão de uma calculadora! Mas, não me lembro e portanto, o nosso probl... oi? O que foi Valdir? - Eu sei fazer a extração da raiz quadrada por esse processo! - Ah é? E você pode vir fazer ele aqui na lousa para calcular essa raiz quadrada para nós... Valdir? - Pois não! Eu fiz o cálculo e o resultado bateu! E assim, resolvi a falta da calculadora e o professor ainda me pediu para relembrá-lo sobre aquele método que passo agora a explaná-lo aqui.

Seja, por exemplo: o número... 40110 (radicando) cuja raiz quadrada, deverá ter uma precisão a menos de um milésimo. Como fazer o cálculo se não tivermos uma calculadora à mão? Lançamos mão do seguinte dispositivo...
1º – Como queremos a raiz com aproximação na casa dos
milésimos, devemos acrescentar após a vírgula (ou ponto) decimal
(nesse caso, está invisível logo após o zero à direita do número) um par de zeros para cada uma dessas casas decimais na raiz que queremos calcular (sempre à direita da marcação decimal de um número, deverá constar uma quantidade par de casas decimais). Feito isso, agora, separamos o número dado, no sentido da direita para a esquerda, conjuntos de pares de dígitos, assim:
utilizamos o então o dispositivo contendo no radicando a presença daquelas seis (04 é a 1ª) duplas de
algarismos.

2º – Começaremos a operação com o número formado pela 1ª dupla de dígitos à esquerda (a qual poderá ser incompleta, como nesse caso) o 4 e como é um quadrado perfeito usaremos o 2 que é a sua raiz quadrada exata (se o número não fosse um quadrado perfeito, então em vez do 2 usaria-mos um outro número, cujo quadrado, se aproximasse do valor do número, por exemplo: caso o número fosse 11 em lugar do 4, nesse caso o número utilizado seria o 3, pois o 3² = 9, que é o quadrado mais próximo do 11), o qual vai ser o 1º dígito da raiz para o número 40110 e como: 2² = 4, então, o 4 no radicando será subtraído desse quadrado e assim temos:
3º – juntamos à diferença de 4 – 4 = 0, os algarismos da 2ª dupla, que são: 01 e imediatamente, separamos o último algarismo da direita que é o 1. Temos na raiz aproximada 2 e tomamos o seu produto por 2 i. É: 2 x 2 = 4. Agora fazemos a divisão de 00 por 4, o que encontramos... 00 : 4 = 0. Assim... o zero vai juntar-se ao 2 na raiz parcial que agora passa a valer 20.
4º – Baixamos a próxima dupla de algarismos que são: 10, separamos o último algarismo na direita e o número formado à esquerda será dividido pelo produto de 20 x 2 = 40 i. É: 11 : 40 = 0. E mais uma vez, esse quociente zero irá se juntar ao número que está sendo a raiz parcial que é o 20 e assim, a nova raiz parcial será 200.
5º – O ritual de sempre: baixamos a próxima dupla que é: 00 (mas, ATENÇÃO! Essa dupla de algarismos encontra-se logo após a colocação da vírgula ou ponto decimal no radicando, por causa disso, devemos juntar aos algarismos da raiz parcial, à direita deles, também essa vírgula ou ponto decimal) juntando-se a 110, separamos o último algarismo à direita, o 0 e ficamos com 1100 que vai ser dividido por 200 x 2 = 400, daí... 1100 : 400 = 2 vale o quociente da divisão aproximada. Nesse caso o 2 encontrado vai juntar-se ao 400, obtêm-se… 4002 e fazemos... 4002 x 2 = 8004 e como esse produto é menor do que 11000 podemos levar o 2 (quociente aproximado de 1100 : 400) lá para a raiz parcial que se apresentará o valor de... 200,2 que é uma aproximação a menos de um décimo para a raiz do radicando. Nos casos ( pode acontecer) por exemplo: 4002 x 2 = 8804 e se 8004 fosse maior do que 11000? Então, faria-mos o abaixamento do valor daquele quociente em uma unidade e calcularia-mos assim... 4001 x 1 = 4001 onde, se esse valor ainda fosse maior que 11000, mais uma vez viria o abaixamento em uma unidade e novo produto... 4000 x 0 = 0 (bom, chegando ao quociente zero, o mesmo tem que se juntar à direita dos algarismos na raiz parcial) o qual seria mais um dígito na raiz parcial.
6º – Continuando... fazemos a subtração entre: 11000 – 8004 = 02996 e juntamos a ele a próxima dupla de algarismos no radicando, que é... 00 e formamos... 299600, separamos o último
algarismo da direita (o zero) e procuramos o quociente entre 29960 e o dobro do valor da raiz parcial (não consideramos a vírgula ou ponto decimal nessa hora)... 2002 x 2 = 4004, assim...
29960 : 4004 = 7 e na continuação... 40047 x 7 = 280329 e como da vez anterior, ele é menor que 299600... então levamos o 7 encontrado para se juntar aos outros algarismos da raiz parcial que passará a valer 200,27 agora já com uma aproximação a menos de um centésimo para o valor da raiz quadrada procurada para o radicando 40110,000000.
7º – Também, como da vez anterior, para continuar a procura, devemos achar a diferença entre... 299600 – 280329 = 019271, baixamos a próxima dupla do radicando... 00, separamos o algarismo da direita ( vai ser o zero) e vamos ver quanto dar o quociente entre 192710 e o dobro da raiz parcial ( sem a vírgula ou ponto decimal) até o momento, que é: 20027 x 2 = 40054, portanto, teremos: 192710 : 40054 = 4 e aí, fazemos... 400544 x 4 = 1602176 e ainda, como esse valor é menor que 1927100, desse modo obtemos mais um algarismo para a raiz quadrada procurada,
que já era igual a 200,27 e passa a ser... 200,274 e com essa aproximação a menos de um milésimo, que era a aproximação desejada desde o início das operações, podemos concluir o nosso trabalho afirmando que: a
raiz quadrada aproximada a menos de um milésimo para o número 40110... é: 200,274. Resultado esse que podemos conferir com o apresentado por uma calculadora, pois esse método manual permite dígito após dígito, atingir a mesma precisão de uma máquina c. q. d.

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ATENÇÃO!!!! Para aqueles leitores que gostam de ler ou saber sobre as minhas invenções, 
postei uma nova criação (2 em 1) com o título... "Nuvem Sólida" aqui no blog na página 
"PENSO, LOGO INVENTO"!!!!!
Obrigado!!!!!
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20/08/2014
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Heads up !!!! For those readers who like to read or know about my inventions, I 
posted a new creation (2 in 1) with the title ... "Solid Cloud" here on the blog page 
"THINK, THEN THE INVENTION" !!!!! 

Thank you !!!!!
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14 comentários:

Renato Brodzinski disse...

Legal, eu não sabia disso!

O algoritmo até que é parecido com o da divisão... (abstraia, na verdade não tem nada a ver, mas fazendo a conta até aparecem algumas semelhanças).

Ótimo post, parabéns! (ah, gostei das figuras, depois você vai me ensinar a fazer, hahahaha)

4 de fevereiro de 2011 15:03
Francisco Valdir disse...

Olá, Renato!
Fico feliz em saber que lhe fui útil nessa sua busca por conhecimentos (aí, seguindo o conselho do et Bilu, hein? KKKKKKK!!!). Obrigado, amigo! bom, as figuras... claro que ensino e aí, você vai desenhar novamente uma certa história com um personagem chamado Renato, que vivia em um mundo nebuloso...!? KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK!!!!!
Um abraço!!!!!

4 de fevereiro de 2011 15:57
Giselle disse...

Oi, Francisco.
Conforme prometido, aqui estou eu! rsrs...
Ah gostei como ficou seu site sim, está bem legal e bem completo.
E interessante o artigo sobre extrair raiz quadrada sem calculadora. Vou dar uma estudada aqui!! rs
Abração, Francisco.
Ficou muito bom o site! =)

5 de fevereiro de 2011 19:54
Francisco Valdir disse...

Olá, Giselle!
Sabe Giselle? Eu procuro ter alternativas para enfrentar uma situação como essa aí, que eu relatei no início do texto, pois... as calculadoras e os computadores são ótimos ajudantes nossos para dar conta dos cálculos, mas, na ausência deles, gastando-se mais tempo, tinta e papel, poderemos também dar conta de certas tarefas e... claro! Basta que se conheça um método prático para isso! Espero ter contribuído nesse aspecto! Obrigado pelos elogios e volte sempre!
Um abraço!!!!!

6 de fevereiro de 2011 02:56
jonasportal disse...

Grande Mestre Fco Valdir!
Muito grato pela suas observações na minha postagem sobre o uso da calculadora. Havemos de concordar que falta boa vontade para esquecer um pouco essas máquinas e partir para a "ponta do lápis".
Mas é muito interessante esse método de calcular raízes que vc postou. Já pensou em fazer um vídeo explicando?
Abraços Calorosos neste 13/03, o dia do PI.

14 de março de 2011 11:33
Francisco Valdir disse...

Olá, Jonas!
É isso, meu amigo! Mas, vamos lutar para uma mudança de atitude desse pessoal!
Já está nos meus planos, sim! Esse e outros posts. O problema é que eu sou neófito nessas artes e os meus conselheiros de informática, meus sobrinhos aborrecentes, não gostam de ensinar, mas, aos poucos, eu vou dando cabeçadas e vai surgindo algo e que tende a melhorar!
Opa! Segundo a minha postagem sobre o dia do PI, vc está contaminado, pois, não é 13/03 e sim... 14/03. KKKKKKKKKKKKK!!!!!! É brincadeira! Rsrs!
Um abraço!!!!!

14 de março de 2011 15:13
Joao Labrego disse...

Conheço este método de calcular raiz quadrada desde meus 12 anos de idade e hoje estou com 48 anos de idade.

Tentarei postar aqui a variação do método que permite o cálculo de outras raízes de índices igual e maiores que 2.

1) Separa-se os algarismos do radicando a partir da direita para a esquerda de 2 em 2, 3 em 3, 4 em 4, etc. conforme o índice do radical seja 2, 3, 4, etc.

Exemplo: raiz cúbica de 15625 -> 15.625

2) Determina-se a raiz enésima (2, 3, 4, etc.) do primeiro grupo à esquerda do radicando. Exemplo: raiz cúbica de 15 = 2. 3) Junta-se o primeiro grupo já calculado ao segundo grupo à esquerda.

Exemplo: 15.625

4) Tenta-se agora justapor um algarismo de 0 a 9 à direita da primeira raiz cúbica calculada (2) de modo que o cubo desse número formado seja igual ou imediatamente menor que o radicando.

Exemplo: 21 x 21 x 21 = 9261, 22 x 22 x 22 = 10648, 23 * 23 * 23 = 12167, 24 * 24 * 24 = 13824, 25 * 25 * 25 = 15625.

Logo, a raiz é exata e igual a 25.

4) Caso a raiz não fosse exata e quiséssemos continuar sua extração até uma certa quantidade de casas decimais, bastaria acrescentar 2, 3, 4, 5, etc. zeros à direita do radicando conforme o índice da raiz seja 2, 3, 4, 5, etc. e repetirmos os passos anteriores.

31 de março de 2012 19:41
Francisco Valdir disse...

Olá, João Labrego!!!!

Lembro de ter calculado algumas vezes, uma raiz cúbica por esse processo, o qual só recordava ser um pouco diferente do que se faz para a extração de uma raiz quadrada, pela maneira que agora você demonstrou e eu imediatamente recordei dela, em se acumular do lado do radicando, esses grupos de três à três, formados da direita para a esquerda, podendo à esquerda termos a presença de três, dois ou apenas um só algarismo.
Eu até que tentei me lembrar desse processo, muito parecido com o que fiz na postagem aqui sobre a extração da raiz quadrada, mas não consegui!

Imagino que o amigo deve gostar de matemática, talvez possua um blog e seja formado também nessa ciência ou não? Gostaria que fizesse contato comigo através do meu endereço: franciscovaldir61@gmail.com para tratarmos de como levar esse seu conhecimento de forma mais abrangente possível aqui na rede! E se possuir blog, seria melhor ainda!

Meus parabéns, por ter feito um comentário tão construtivo e já tão útil, complementando a minha postagem tão procurada aqui no meu blog! Muito honrado com a sua visita e... volte sempre!

Um abraço!!!!!

1 de abril de 2012 04:14
Educadores Multiplicadores disse...

Olá Multiplicador Valdir, boa tarde! Felicidades pra sua família!

Parabéns, seu blog e você são destaques no Educadores Multiplicadores por ter contribuído à educação. Link abaixo:

http://www.educadoresmultiplicadores.com.br/2013/04/educadores-multiplicadores-de-mes-de.html

Caso queira pegar o selo que caracteriza o destaque, fique a vontade. Lembramos que colocar o selo do “Top Caneta de Ouro” e/ou “Top comentarista” é opcional.

O EDUCADORES MULTIPLICADORES e o MARQUECOMX agradecem pela amizade e confiança em nosso projeto, que é de todos nós.

Abraços, fiquemos na Paz de Deus e até breve.

IRIVAN

1 de abril de 2013 10:51
Francisco Valdir disse...

Olá, Educador Multiplicador mor, Irivan!!!!

Obrigado, pelas felicitações pelo meu trabalho e desempenhos!!!!
Resolvi levar um selo e na base dele, vou informando em quais meses estou sendo agraciado com esse prêmio!!!!
A parceria continua, firme e forte com todos os amigos e espalhando os conhecimentos!!!! para mim é um prazer e uma honra estar aqui no EM!!!!

Um abraço!!!!!

2 de abril de 2013 09:01
Nilton Silva disse...

Não entendi nada

31 de agosto de 2013 15:38
Francisco Valdir disse...

Olá, Nilton Silva!!!!

Amigo, não siga aquelas instruções naquela imagem após a nona linha do início da postagem sobre o plantio, cuidados e a colheita de uma raiz quadrada. Aquilo é uma... brincadeira!!!!!

Não é isso???? Desculpe!!!! Mas. o que fazer???? Bem, até agora eu pensava que todos os leitores houvessem entendido de como fazer a extração, segundo, om que eu informo ali!!!! Como não é assim... e até para premiar a sua coragem em dizer que não entendeu a coisa, então, especialmente para você, brevemente estarei lançando esse assunto em outra nova postagem para tentar acabar com essa sua incompreensão!!!!
Obrigado, pela sua visita e o seu comentário e... volte sempre!!!!
INTEL LOGO!!!!

Um abraço!!!!!

1 de setembro de 2013 10:18
Francisco Valdir disse...

Olá, Nilton Silva!!!!
Lembei que tenho outro post aqui no blog tratando da extração da raiz quadrada. Por favor, acesse por aqui...

http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4361535689185751811#editor/target=post;postID=5024866719784087640;onPublishedMenu=posts;onClosedMenu=posts;postNum=19;src=postname

e talvez, como ele é um texto mais "enxuto", possa lhe dar a clareza necessária para a compreensão do processo!!!!
Mas, pelo som pelo não, farei uma nova postagem sobre esse algoritmo, como já falei!!!!
INTEL LOGO!!!!

Um abraço!!!!!


1 de setembro de 2013 12:43
Otacilio Meirelles disse...

Gosto de raíz quadrada, e raíz cúbica. É um bom exercicio. Se você gosta dos desdobramentos do número PI, digite: "as curvas da deusa lux" e vá no link "cubesfera"

10 de dezembro de 2014 16:30

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