sexta-feira, 4 de fevereiro de 2011
EXTRAIR A RAIZ QUADRADA... SEM USAR CALCULADORA?
Cursava engenharia mecânica na UFRN lá para o ano de 1983, mais ou menos, quando houve uma greve de professores.
Passados 30 dias, mediante entendimentos com a reitoria e sindicato, veio o ritual (é costumeiro no Brasil) da reposição da carga horária atrasada e como sempre acontecia... aulas aos sábados.
Em uma dessas aulas, ocorreu que: para se chegar à resposta de um problema que continha reposta no livro, tinha-se que extrair a raiz quadrada de um certo número com aproximação a menos de um milésimo.
Então, o professor perguntou – quem tem uma calculadora aí? Como ninguém havia levado uma, o professor disse:
- que tipo de alunos são vocês, que vão estudar e não se armam de uma calculadora? E os alunos, dando o troco:
- e que qualidade de professor é essa, que sai pra dar aula e não leva uma também? Brincadeiras à parte, o fato é que precisávamos do resultado para o término do problema proposto.
- quando eu estudei o assunto sobre extração de raízes quadradas, lembro que o meu professor me ensinou uma forma manual de se chegar ao resultado delas... com precisão de uma calculadora! Mas, não me lembro e portanto, o nosso probl... oi? O que foi Valdir?
- Eu sei fazer a extração da raiz quadrada por esse processo!
- Ah é? E você pode vir fazer ele aqui na lousa para calcular essa raiz quadrada para nós... Valdir?
- Pois não! Eu fiz o cálculo e o resultado bateu!
E assim, resolvi a falta da calculadora e o professor ainda me pediu para relembrá-lo sobre aquele método que passo agora a explaná-lo aqui.
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ATENÇÃO!!!! Para aqueles leitores que gostam de ler ou saber sobre as minhas invenções,
postei uma nova criação (2 em 1) com o título... "Nuvem Sólida" aqui no blog na página
"PENSO, LOGO INVENTO"!!!!!
Obrigado!!!!!
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20/08/2014
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Seja, por exemplo: o número... 40110 (radicando) cuja raiz quadrada, deverá ter uma precisão a menos de um milésimo.
Como fazer o cálculo se não tivermos uma calculadora à mão? Lançamos mão do seguinte dispositivo...
1º – Como queremos a raiz com aproximação na casa dos
milésimos, devemos acrescentar após a vírgula (ou ponto decimal, e que nesse caso, está invisível logo após o zero à direita do número) um par de zeros para cada uma dessas casas decimais na raiz que queremos calcular (sempre à direita da marcação decimal de um número, deverá constar uma quantidade par de casas decimais).
Feito isso, agora, separamos o número dado, no sentido da direita para a esquerda, conjuntos de pares de dígitos, assim:
utilizamos o então o dispositivo contendo no radicando a presença daquelas seis (04 é a 1ª) duplas de
algarismos.
2º – Começaremos a operação com o número formado pela 1ª dupla de dígitos à esquerda (a qual poderá ser incompleta, como nesse caso) o 4 e como é um quadrado perfeito usaremos o 2 que é a sua raiz quadrada exata (se o número não fosse um quadrado perfeito, então em vez do 2 usaria-mos um outro número, cujo quadrado, se aproximasse do valor do número, por exemplo: caso o número fosse 11 em lugar do 4, nesse caso o número utilizado seria o 3, pois o 3² = 9, que é o quadrado mais próximo do 11), o qual vai ser o 1º dígito da raiz para o número 40110 e como: 2² = 4, então, o 4 no radicando será subtraído desse quadrado e assim temos:
3º – juntamos à diferença de 4 – 4 = 0, os algarismos da 2ª dupla, que são:
01 e imediatamente, separamos o último algarismo da direita que é o 1.
Temos na raiz aproximada 2 e tomamos o seu produto por 2 i. É: 2 x 2 = 4. Agora fazemos a divisão de 00 por 4, o que encontramos... 00 : 4 = 0. Assim... o zero vai juntar-se ao 2 na raiz parcial que agora passa a valer 20.
4º – Baixamos a próxima dupla de algarismos que são: 10, separamos o último algarismo na direita e o número formado à esquerda será dividido pelo produto de 20 x 2 = 40 i. É: 11 : 40 = 0.
E mais uma vez, esse quociente zero irá se juntar ao número que está sendo a raiz parcial que é o 20 e assim, a nova raiz parcial será 200.
5º – O ritual de sempre:
baixamos a próxima dupla que é: 00 (mas, ATENÇÃO! Essa dupla de algarismos encontra-se logo após a colocação da vírgula ou ponto decimal no radicando, por causa disso, devemos juntar aos algarismos da raiz parcial, à direita deles, também essa vírgula ou ponto decimal) juntando-se a 110, separamos o último algarismo à direita, o 0 e ficamos com 1100 que vai ser dividido por 200 x 2 = 400, daí... 1100 : 400 = 2 vale o quociente da divisão aproximada. Nesse caso o 2 encontrado vai juntar-se ao 400, obtêm-se… 4002 e fazemos... 4002 x 2 = 8004 e como esse produto é menor do que 11000 podemos levar o 2 (quociente aproximado de 1100 : 400) lá para a raiz parcial que se apresentará o valor de... 200,2 que é uma aproximação a menos de um décimo para a raiz do radicando.
Nos casos (pode acontecer) por exemplo:
4002 x 2 = 8804 e se 8004 fosse maior do que 11000?
Então, faríamos o abaixamento do valor daquele quociente em uma unidade e calcularíamos assim... 4001 x 1 = 4001 onde, caso esse valor ainda fosse maior que 11000, mais uma vez haveria o abaixamento em uma unidade e novo produto... 4000 x 0 = 0 (bom, chegando ao quociente zero, o mesmo tem que se juntar à direita dos algarismos na raiz parcial) o qual seria mais um dígito na raiz parcial.
6º – Continuando... fazemos a subtração entre: 11000 – 8004 = 02996 e juntamos a ele a próxima dupla de algarismos no radicando, que é... 00 e formamos... 299600, separamos o último algarismo da direita (o zero) e procuramos o quociente entre 29960 e o dobro do valor da raiz parcial (não consideramos a vírgula ou ponto decimal nessa hora)... 2002 x 2 = 4004, assim...
29960 : 4004 = 7 e na continuação... 40047 x 7 = 280329 e como da vez anterior, ele é menor que 299600... então, levamos o 7 encontrado para se juntar aos outros algarismos da raiz parcial que passará a valer 200,27 agora já com uma aproximação a menos de um centésimo para o valor da raiz quadrada procurada para o radicando 40110,000000.
7º – Também, como da vez anterior, para continuar a procura, devemos achar a diferença entre... 299600 – 280329 = 019271, baixamos a próxima dupla do radicando... 00, separamos o algarismo da direita ( vai ser o zero) e vamos ver quanto dar o quociente entre 192710 e o dobro da raiz parcial ( sem a vírgula ou ponto decimal) até o momento, que é: 20027 x 2 = 40054, portanto, teremos: 192710 : 40054 = 4 e aí, fazemos... 400544 x 4 = 1602176 e ainda, como esse valor é menor que 1927100, desse modo obtemos mais um algarismo para a raiz quadrada procurada,
que já era igual a 200,27 e passa a ser... 200,274 e com essa aproximação a menos de um milésimo, que era a aproximação desejada desde o início das operações, podemos concluir o nosso trabalho afirmando que:
"a raiz quadrada aproximada a menos de um milésimo para o número 40110... é: 200,274"! Resultado esse que podemos conferir com o apresentado por uma calculadora, pois esse método manual permite dígito após dígito, atingir a mesma precisão de uma máquina c. q. d.
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21 comentários:
Legal, eu não sabia disso!
4 de fevereiro de 2011 às 15:03O algoritmo até que é parecido com o da divisão... (abstraia, na verdade não tem nada a ver, mas fazendo a conta até aparecem algumas semelhanças).
Ótimo post, parabéns! (ah, gostei das figuras, depois você vai me ensinar a fazer, hahahaha)
Olá, Renato!
4 de fevereiro de 2011 às 15:57Fico feliz em saber que lhe fui útil nessa sua busca por conhecimentos (aí, seguindo o conselho do et Bilu, hein? KKKKKKK!!!). Obrigado, amigo! bom, as figuras... claro que ensino e aí, você vai desenhar novamente uma certa história com um personagem chamado Renato, que vivia em um mundo nebuloso...!? KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK!!!!!
Um abraço!!!!!
Oi, Francisco.
5 de fevereiro de 2011 às 19:54Conforme prometido, aqui estou eu! rsrs...
Ah gostei como ficou seu site sim, está bem legal e bem completo.
E interessante o artigo sobre extrair raiz quadrada sem calculadora. Vou dar uma estudada aqui!! rs
Abração, Francisco.
Ficou muito bom o site! =)
Olá, Giselle!
6 de fevereiro de 2011 às 02:56Sabe Giselle? Eu procuro ter alternativas para enfrentar uma situação como essa aí, que eu relatei no início do texto, pois... as calculadoras e os computadores são ótimos ajudantes nossos para dar conta dos cálculos, mas, na ausência deles, gastando-se mais tempo, tinta e papel, poderemos também dar conta de certas tarefas e... claro! Basta que se conheça um método prático para isso! Espero ter contribuído nesse aspecto! Obrigado pelos elogios e volte sempre!
Um abraço!!!!!
Grande Mestre Fco Valdir!
14 de março de 2011 às 11:33Muito grato pela suas observações na minha postagem sobre o uso da calculadora. Havemos de concordar que falta boa vontade para esquecer um pouco essas máquinas e partir para a "ponta do lápis".
Mas é muito interessante esse método de calcular raízes que vc postou. Já pensou em fazer um vídeo explicando?
Abraços Calorosos neste 13/03, o dia do PI.
Olá, Jonas!
14 de março de 2011 às 15:13É isso, meu amigo! Mas, vamos lutar para uma mudança de atitude desse pessoal!
Já está nos meus planos, sim! Esse e outros posts. O problema é que eu sou neófito nessas artes e os meus conselheiros de informática, meus sobrinhos aborrecentes, não gostam de ensinar, mas, aos poucos, eu vou dando cabeçadas e vai surgindo algo e que tende a melhorar!
Opa! Segundo a minha postagem sobre o dia do PI, vc está contaminado, pois, não é 13/03 e sim... 14/03. KKKKKKKKKKKKK!!!!!! É brincadeira! Rsrs!
Um abraço!!!!!
Conheço este método de calcular raiz quadrada desde meus 12 anos de idade e hoje estou com 48 anos de idade.
31 de março de 2012 às 19:41Tentarei postar aqui a variação do método que permite o cálculo de outras raízes de índices igual e maiores que 2.
1) Separa-se os algarismos do radicando a partir da direita para a esquerda de 2 em 2, 3 em 3, 4 em 4, etc. conforme o índice do radical seja 2, 3, 4, etc.
Exemplo: raiz cúbica de 15625 -> 15.625
2) Determina-se a raiz enésima (2, 3, 4, etc.) do primeiro grupo à esquerda do radicando. Exemplo: raiz cúbica de 15 = 2. 3) Junta-se o primeiro grupo já calculado ao segundo grupo à esquerda.
Exemplo: 15.625
4) Tenta-se agora justapor um algarismo de 0 a 9 à direita da primeira raiz cúbica calculada (2) de modo que o cubo desse número formado seja igual ou imediatamente menor que o radicando.
Exemplo: 21 x 21 x 21 = 9261, 22 x 22 x 22 = 10648, 23 * 23 * 23 = 12167, 24 * 24 * 24 = 13824, 25 * 25 * 25 = 15625.
Logo, a raiz é exata e igual a 25.
4) Caso a raiz não fosse exata e quiséssemos continuar sua extração até uma certa quantidade de casas decimais, bastaria acrescentar 2, 3, 4, 5, etc. zeros à direita do radicando conforme o índice da raiz seja 2, 3, 4, 5, etc. e repetirmos os passos anteriores.
Olá, João Labrego!!!!
1 de abril de 2012 às 04:14Lembro de ter calculado algumas vezes, uma raiz cúbica por esse processo, o qual só recordava ser um pouco diferente do que se faz para a extração de uma raiz quadrada, pela maneira que agora você demonstrou e eu imediatamente recordei dela, em se acumular do lado do radicando, esses grupos de três à três, formados da direita para a esquerda, podendo à esquerda termos a presença de três, dois ou apenas um só algarismo.
Eu até que tentei me lembrar desse processo, muito parecido com o que fiz na postagem aqui sobre a extração da raiz quadrada, mas não consegui!
Imagino que o amigo deve gostar de matemática, talvez possua um blog e seja formado também nessa ciência ou não? Gostaria que fizesse contato comigo através do meu endereço: franciscovaldir61@gmail.com para tratarmos de como levar esse seu conhecimento de forma mais abrangente possível aqui na rede! E se possuir blog, seria melhor ainda!
Meus parabéns, por ter feito um comentário tão construtivo e já tão útil, complementando a minha postagem tão procurada aqui no meu blog! Muito honrado com a sua visita e... volte sempre!
Um abraço!!!!!
Olá Multiplicador Valdir, boa tarde! Felicidades pra sua família!
1 de abril de 2013 às 10:51Parabéns, seu blog e você são destaques no Educadores Multiplicadores por ter contribuído à educação. Link abaixo:
http://www.educadoresmultiplicadores.com.br/2013/04/educadores-multiplicadores-de-mes-de.html
Caso queira pegar o selo que caracteriza o destaque, fique a vontade. Lembramos que colocar o selo do “Top Caneta de Ouro” e/ou “Top comentarista” é opcional.
O EDUCADORES MULTIPLICADORES e o MARQUECOMX agradecem pela amizade e confiança em nosso projeto, que é de todos nós.
Abraços, fiquemos na Paz de Deus e até breve.
IRIVAN
Olá, Educador Multiplicador mor, Irivan!!!!
2 de abril de 2013 às 09:01Obrigado, pelas felicitações pelo meu trabalho e desempenhos!!!!
Resolvi levar um selo e na base dele, vou informando em quais meses estou sendo agraciado com esse prêmio!!!!
A parceria continua, firme e forte com todos os amigos e espalhando os conhecimentos!!!! para mim é um prazer e uma honra estar aqui no EM!!!!
Um abraço!!!!!
Não entendi nada
31 de agosto de 2013 às 15:38Olá, Nilton Silva!!!!
1 de setembro de 2013 às 10:18Amigo, não siga aquelas instruções naquela imagem após a nona linha do início da postagem sobre o plantio, cuidados e a colheita de uma raiz quadrada. Aquilo é uma... brincadeira!!!!!
Não é isso???? Desculpe!!!! Mas. o que fazer???? Bem, até agora eu pensava que todos os leitores houvessem entendido de como fazer a extração, segundo, om que eu informo ali!!!! Como não é assim... e até para premiar a sua coragem em dizer que não entendeu a coisa, então, especialmente para você, brevemente estarei lançando esse assunto em outra nova postagem para tentar acabar com essa sua incompreensão!!!!
Obrigado, pela sua visita e o seu comentário e... volte sempre!!!!
INTEL LOGO!!!!
Um abraço!!!!!
Olá, Nilton Silva!!!!
1 de setembro de 2013 às 12:43Lembei que tenho outro post aqui no blog tratando da extração da raiz quadrada. Por favor, acesse por aqui...
http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4361535689185751811#editor/target=post;postID=5024866719784087640;onPublishedMenu=posts;onClosedMenu=posts;postNum=19;src=postname
e talvez, como ele é um texto mais "enxuto", possa lhe dar a clareza necessária para a compreensão do processo!!!!
Mas, pelo som pelo não, farei uma nova postagem sobre esse algoritmo, como já falei!!!!
INTEL LOGO!!!!
Um abraço!!!!!
Raiz Quadrada - Raiz Cúbica
31 de maio de 2015 às 08:18Existe uma outra formula muito simples de achar a raiz quadrada com papel e lápis. Por exemplo: O número 11.136. Se você tem uma certa noção matemática sabe de saída que a raiz quadrada mais próxima de 11.136 é 100, a raiz quadrada de 10.000. e tudo ficará mais fácil. Porém pode se começar com qualquer divisor.
Vamos usar este método mais trabalhoso para mostrar que com qualquer número divisor chega-se a raiz quadrada de um número. Aqui vamos usar a aproximação contínua pela divisão e adição. Dependendo do número escolhido, em um momento se aproxima para mais, no seguinte pra menos, e vice versa.
Digamos que fossemos um físico perdido em um planeta distante; cujo magnetismo anulou todos os computadores da nave. E como se não bastasse, ele teria que resolver este problema achando a raiz quadrada de um número, com a diferença de um para um bilhão. E o número é 11.136. É claro que um físico de cabeça pegaria loco o número 100 para se orientar, e de saída iria direto para o 105, em busca dos irracionais.
Mas aqui o nosso físico acostumado a o computador está meio perdido então ira pegar um número divisor aleatório,por exemplo 50. Ficará mais difícil, mas a razão é aprender.
1) -Ex:
11.136 / 50 = 222,72
50 + 222,72 = 272,72
272,72 / 2 = 136,36
2) - Voltamos a o começo:
11.136 / 136,36 = 81,66617776474
136,36 + 81.66617776474 = 218,02617776474
218,02617776474 / 2 = 109,01308888237
3) - Voltamos a o começo:
11.136 / 109,01308888237 = 102,15287094576544
109,01308888237 + 102,15287094576544 = 211,1659598281354411
211,1659598281354411 / 2 = 105,58297991406772055
4) – Voltamos ao começo:
11136 / 105,582979914067720 = 105,471544836709574999
105,582979914067720 + 105,471544836709574999 = 211,054524750777294999
211,054524750777294999 / 2 = 105,527262375388647499
5) – Voltamos a o começo:
11136 / 105,527262375388647499 = 105,527232956980109518
105,527262375388647499 + 105,527232956980109518 = 211,0544953323687569
211,0544953323687569 / 2 = 105,5272476661843784
6) – Voltamos a o começo:
11136 / 105,5272476661843784 = 105,527247666182706 ( Aqui está)
Vamos a prova!
105,5272476661843784 +105,527247666182706 = 211,0544953323670844
211,0544953323670844 / 2 = 105, 5272476661835422
R = 105, 5272476661835422² = 11.136,0000000000398539...
Como a resposta que queremos é de um para um bilhão; cortamos as últimas casas além desta diferença e temos: 11.136,000000000 – ou seja, exatos; 11.136
Se fosse de um para um trilhão teríamos 3 dígitos de erro.
O Desafio:
De Ciracusa, Arquimedes mandava cartas-desafios com problemas de matemática para os matemáticos em Alexandria resolverem: O desafio aqui, é encontrar a raiz cúbica de um número, pelo método lápis-papel. E claro, publicar. Vejam bem, não estou desafiando com o que já sei, mas com o que quero saber.
Excelente postagem!
25 de fevereiro de 2017 às 16:43Acompanho este espaço já algum tempo, e posso afirmar que aqui tem informações e dicas valiosíssimas para aqueles que gostam e precisam estudar sobre a Química.
Aproveito o momento para deixar um convite para você visitar o blog QUÍMICA PERIÓDICA - Aprender Química de maneira fácil e divertida!
Deixo meus parabéns ao proprietário(a) deste espaço e que você continue nos trazendo conhecimentos valiosos.
Olá, Irivan!!!!
25 de fevereiro de 2017 às 18:05Muito obrigado, por tudo e, brevemente estarei postando artigos novos, inclusive, reeditando os desafios dinâmicos, tipo: "Caçadores Das Curvas Escondidas". Também, verei o blog QUÍMICA PERIÓDICA, visitando-o, seguindo-o e compartilhando-o!!!!
Bom carnaval e INTEL LOGO!!!!
Um abraço!!!!!
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